Kezdőlap


Feladat:	3846. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dajka Attila Norbert
Füzet:	2006/december, 561 - 562. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Centrifugális erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: 3846. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük az edény alakját leíró $h (r)$ függvény meredekségét a forgástengelytől mért $r$ távolságban $α$ -val; ez természetesen $r$ függvénye lesz (lásd az ábrát). A testre ható erők: $m g$ gravitációs erő függőlegesen lefelé, illetve a forgástest által a kis testre kifejtett $F$ erő, ez utóbbi merőleges az edény érintősíkjára, tehát a függőlegessel $α$ szöget zár be.

A kis test függőleges irányban nem gyorsul, ezért

F

függőleges komponense

m g

kell legyen. A test vízszintes irányú gyorsulása

r ω^{2}

(centripetális gyorsulás), ezt az

F

erő vízszintes komponense hozza létre, nagysága tehát

m r ω^{2}

F

irányának ismeretében felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} tg α = \frac{m r ω^{2}}{m g} = \frac{ω^{2}}{g} r . \end{matrix}

Mivel

ω^{2} / g

az edény minden pontjában ugyanakkora,

tg α

(vagyis a

h (r)

függvény növekedési üteme)

r

-rel egyenes arányban áll, átlagos értéke tehát a forgástengely és a vizsgált

r

sugarú hely között

\begin{matrix} {(tg α)}_{átlag} = \frac{1}{2} {(tg α)}_{{max}_{}^{}} = \frac{ω^{2}}{2 g} r . \end{matrix}

Az átlagos meredekség ismeretében meg tudjuk mondani, hogy milyen magas az edény (a legmélyebb pontjához viszonyítva) a forgástengelytől mért

r

távolságban:

\begin{matrix} {(tg α)}_{átlag} = \frac{h (r)}{r}, ahonnan h (r) = {(tg α)}_{átlag} \cdot r = \frac{ω^{2}}{2 g} r^{2} . \end{matrix}

Ez egy parabola egyenlete, a kérdéses edény tehát forgásparaboloid alakú kell legyen.