Kezdőlap


Feladat:	2006. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2006/november, 497 - 501. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladatok, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: 2006. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.

Digitális kamera

3.1. A digitális kamerák felbontóképességét két tényező korlátozza: a nyílás fényszórása (diffrakciója) és a pixelek mérete. A diffrakció miatti

Θ_{R}

szögfelbontást a fény

λ

hullámhosszának és a kameranyílás átmérőjének aránya határozza meg:

\begin{matrix} Θ_{R} = 1, 22 \frac{λ}{D}, \end{matrix}

ahol az 1,22-es tényező a kameranyílás kör alakjának a következménye. Mivel a legtöbb gyakorlati esetben a tárgy eléggé messze van a kamerától, így a kép a kamera fókuszsíkjában keletkezik, tehát akkor különböztethetünk meg egymástól két képpontot, ha a közöttük lévő távolság nagyobb, mint

\begin{matrix} Δ x = f \cdot Θ_{R} = 1, 22 \cdot λ \cdot F #, \end{matrix}

melynek számszerű értéke:

Δ x = 1, 22 μm

. Becsléskor a lehető legnagyobb nyílást (tehát a lehető legkisebb, vagyis

F # = 2

-es numerikus apertúra értéket) választottuk, valamint a megadott

λ = 500 nm

-es tipikus hullámhosszat használtuk.
3.2. A digitális felbontóképességet a szomszédos pixelek középpontja közötti

l

távolság adja meg. Az 5 Mpix-es kameránk esetén ez a távolság közelítőleg:

\begin{matrix} l = \frac{L}{\sqrt[]{N_{p}}} = 15, 65 μ m. \end{matrix}

Ideális esetben az optikai és a digitális felbontóképesség összhangban van egymással. Ha a sokkal jobb optikai felbontóképességet várjuk el a digitális felbontástól is, akkor a szükséges pixelszám:

\begin{matrix} N = {(\frac{L}{Δ x})}^{2} \approx 823 Mpix. \end{matrix}

3.3. Az optika akkor nem befolyásolja a felbontóképességet, ha

l \geq Δ x

. Ehhez olyan

F # \leq F_{0}

értéket kell választanunk, ahol

\begin{matrix} F_{0} = \frac{L}{1, 22 \cdot λ \cdot \sqrt[]{N_{0}}} = 2 \sqrt[]{\frac{N}{N_{0}}} = 14, 34. \end{matrix}

Mivel a kamerákon ilyen

F #

érték beállítása nem lehetséges, ezért azt a hozzá legközelebbi numerikus apertúrát kell választanunk, ami jobb felbontóképességet ad, vagyis

F_{0} = 11

.
3.4. Ha a szemünktől

z

távolságra lévő képet nézzük, két szomszédos képpont közötti (kicsiny) látószög így adható meg:

φ = \frac{l}{z}

, ahol

l

a szomszédos képpontok közötti távolság. Mivel az emberi szem szög szerinti felbontóképessége kb.

2'

(azaz 2 szögperc¹), a kérdéses távolság:

\begin{matrix} z = \frac{l}{φ} = \frac{2, 54 \cdot 10^{- 2} m}{2 \cdot 2, 91 \cdot 10^{- 4} \cdot 300} = 14, 55 cm \approx 15 cm. \end{matrix}

Keménytojás

3.5. Az egész tojásnak el kell érnie a kicsapódási hőmérsékletet. Ez azt jelenti, hogy a tojás hőmérsékletének növekedése:

\begin{matrix} Δ T = T_{c} - T_{0} = 65^{\circ} C - 4^{\circ} C = 61^{\circ} C . \end{matrix}

Így a tojás teljes kicsapódásához szükséges minimális energia:

U = μ V c Δ T

, ahol

V = 4 π R^{3} / 3

a tojás térfogata. A kicsapódáshoz szükséges minimális energia számértéke:

\begin{matrix} U = μ \frac{4 π R^{3}}{3} c (T_{c} - T_{0}) = 16 800 J. \end{matrix}

3.6. Durva becslésként felhasználhatjuk a hővezetés egyszerűsített Fourier-törvényét, és így közelítőleg kiszámíthatjuk a kezdeti

J

hőáramsűrűséget. Feltehetjük, hogy a tojás közepében a hőmérséklet megegyezik a tojás kezdeti

T_{0} = 4^{\circ} C

-os hőmérsékletével, továbbá a tojást jellemző tipikus hossz

Δ r = R

a tojás sugara, illetve az ennek megfelelő hőmérsékletkülönbség

Δ T = T_{1} - T_{0}

, ahol

T_{1} = 100^{\circ} C

a víz forráspontja. Így

\begin{matrix} J = \frac{κ (T_{1} - T_{0})}{R} = 2460 W\cdotm^{- 2}. \end{matrix}

3.7. A fenti hőáram segítségével becslést adhatunk a forró vízből a tojás felszínén át a tojásba áramló hőteljesítmény nagyságára:

\begin{matrix} P = 4 π R^{2} J = 4 π κ R (T_{1} - T_{0}) \approx 19 W. \end{matrix}

3.8. A hőteljesítmény megadja a tojásba behatoló hő mennyiségét másodpercenként. Ezzel és a kicsapódáshoz szükséges energiával közelítő becslést adhatunk a keménytojás

τ

főzési idejére:

\begin{matrix} τ = \frac{U}{P} = \frac{μ c R^{2}}{3 κ} \cdot \frac{T_{c} - T_{0}}{T_{1} - T_{0}} \approx 880 s \approx 15 perc . \end{matrix}

Villámlás

3.9. A villám

Q

töltését az áramerősség-idő függvény görbe alatti területe (esetünkben egy háromszög területe) adja meg:

\begin{matrix} Q = \frac{I_{0} τ}{2} = 5 C. \end{matrix}

3.10. Az átlagos áram a töltés és az idő hányadosa, a lineáris áramerősség-idő függvény miatt egyszerűen a maximális áramérték fele:

\begin{matrix} I = \frac{Q}{τ} = \frac{I_{{max}_{}^{}}}{2} = 50 kA. \end{matrix}

3.11. Mivel a felhő alja negatív töltésű, így a talaj pozitív töltésű, ezért a villámláskor megvalósuló helyzetet lényegében egy gigantikus síkkondenzátorral közelíthetjük. Így a villámcsapás előtti pillanatban a felhalmozódott energia

Q E_{0} h / 2 = 7, 5 \cdot 10^{8} J

, ahol

E_{0} h

a felhő alja és a talaj közötti feszültség. Villámláskor közelítőleg ekkora, 750 MJ-nyi energia szabadul fel. Ezek után már könnyen kiszámíthatjuk, hogy a Föld egy évi összes villámjának energiája, amit (gondolatban) szétosztunk a Föld teljes népessége között, mennyi ideig tudna emberenként egy-egy 100 W-os izzólámpát működtetni:

\begin{matrix} t = \frac{32 \cdot 10^{6}}{6, 5 \cdot 10^{9}} \cdot \frac{7, 5 \cdot 10^{8} J}{100 W} \approx 10 h. \end{matrix}

Hajszálerek

3.12. A Poisseuille-féle törvényt átrendezve megkaphatjuk az összes hajszálér által képviselt

R_{Σ}

eredő áramlási ellenállást:

\begin{matrix} R_{Σ} = \frac{Δ p}{D} = 10^{7} \frac{P a s}{m^{3}}. \end{matrix}

Minthogy a hajszálerek ,,párhuzamosan vannak kapcsolva'', az elektromos analógiát használva

\begin{matrix} \frac{1}{R_{Σ}} = \frac{N}{R}, ahol R = \frac{8 η L}{π r^{4}} \approx 4, 5 \cdot 10^{16} \frac{k g}{m^{4} s} \end{matrix}

egyetlen hajszálér áramlási ellenállása. Innen a hajszálerek száma:

\begin{matrix} N = \frac{R}{R_{Σ}} \approx 4, 5 \cdot 10^{9} . \end{matrix}

3.13. A térfogati ,,vérhozamot'' (

D

) kifejezhetjük a vér

v

áramlási sebességével, valamint az erek

r^{2} π

keresztmetszetével:

\begin{matrix} D = v N r^{2} π, ahonnan v = \frac{D}{N r^{2} π} = 0, 44 \frac{m m}{s}. \end{matrix}

Felhőkarcoló

3.14. A

p V = N k T

ideális gázegyenletnek és az adiabatikus folyamatokat jellemző

p V^{γ} = állandó

összefüggésnek a kombinálásából adódik, hogy adiabatikus folyamat esetén

p^{γ - 1} = K T^{γ}

, ahol

K

a gázra jellemző konstans. Ha a nyomás kis

d p

-vel megváltozik, akkor az egyenlet bal oldala

(γ - 1) p^{γ - 2} d p

-vel változik meg, és hasonlóan kis

d T

hőmérsékletváltozás esetén a jobb oldal

K γ T^{γ - 1} d T

-vel változik meg. E két változás azonban megegyezik, tehát

\begin{matrix} (γ - 1) p^{γ - 2} d p = K γ T^{γ - 1} d T . \end{matrix}

A fenti két egyenletet elosztva egymással megkapjuk a keresett összefüggést:

\begin{matrix} \frac{d T}{T} = (1 - \frac{1}{γ}) \frac{d p}{p} = \frac{2}{7} \frac{d p}{p} . \end{matrix}

Ugyanezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy képezzük a

p V = N k T

egyenlet mindkét oldalának kicsiny megváltozását:

p d V + V d p = N k d T

, valamint felírjuk az adiabatikus állapotváltozásra vonatkozó

\begin{matrix} d E + p d V = \frac{5}{2} N k d T + p d V = 0 \end{matrix}

egyenletet (kihasználva, hogy a nitrogénmolekulák szabadsági foka 5). A fenti három egyenletből

V

és

d V

kiküszöbölése után

\begin{matrix} \frac{d T}{T} = \frac{2}{7} \frac{d p}{p} . \end{matrix}

adódik.
3.15. Az

A

vízszintes felületű,

z

magasságban levő,

d z

vastagságú levegőrétegre ható nehézségi erővel a felső és alsó lapra ható nyomás különbségéből származó erő tart egyensúlyt. Az

A d z

térfogatban levő részecskék száma a gáztörvény alapján

N = \frac{p A d z}{k T}

, tehát a gázra ható nehézségi erő

N m g = \frac{p A d z}{k T} m g

, ahol

m

egyetlen részecske tömege. A

d p = p (z + d z) - p (z)

nyomáskülönbségből származó erő pedig

A d p

, tehát

\begin{matrix} \frac{p A d z}{k T} m g = - A d p, ahonnan d p = - \frac{m g p}{k T} d z . \end{matrix}

(A negatív előjel arra utal, hogy a nyomás a magasság növekedésével csökken.)
3.16. Az előző két pontban levezetett összefüggések alapján a hőmérsékletváltozás és a magasságváltozás között a kapcsolat:

\begin{matrix} d T = - (1 - \frac{1}{γ}) \frac{m g}{k} d z = - \frac{2 m g}{7 k} d z . \end{matrix}

Látható, hogy a hőmérséklet a magassággal egyenes arányban csökken, így a keresett hőmérsékletet:

\begin{matrix} T_{fent} = T_{lent} - \frac{2 m g H}{7 k} = 20, 6^{\circ} C. \end{matrix}

(Felhasználtuk, hogy

T_{lent} = 30^{\circ} C

, és

H = 1000

m.)

¹Múlt havi számunkban szögperc helyett tévesen szögmásodperc szerepelt.