Kezdőlap


Feladat:	2006. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2006/november, 494 - 497. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Lorentz-kontrakció
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: 2006. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.

Alapvető összefüggések

2.1. A lyukkamerával készített képen az

\tilde{x}

helyen látható rúddarabkát kirajzoló fény

T = \frac{\sqrt[]{D^{2} + {\tilde{x}}^{2}}}{c}

idővel korábban indult, mint a felvétel készítésének időpontja. Ennyi idő alatt a rúd

v T

távolságot tesz meg, tehát a felvétel készítésekor a rúd valódi helyzete:

x = \tilde{x} + β \sqrt[]{D^{2} + {\tilde{x}}^{2}}

.
2.2. A fenti egyenletből

\tilde{x}

így fejezhető ki:

\tilde{x} = γ^{2} x - β γ \sqrt[]{D^{2} + {(γ x)}^{2}}

A rúd látszólagos hossza

2.3. A Lorentz-kontrakciónak megfelelően a mozgó rúd hossza

L / γ

, így a mozgó rúd két végének valódi helyzete:

\begin{matrix} x_{\pm} = x_{0} \pm \frac{L}{2 γ}, \end{matrix}

ahol a pozitív jel a rúd elejének, a negatív pedig a végének felel meg.
A lyukkamera képe a rúd két végét a

\begin{matrix} {\tilde{x}}_{\pm} = γ (γ x_{0} \pm \frac{L}{2}) - β γ \sqrt[]{D^{2} + {(γ x_{0} \pm \frac{L}{2})}^{2}} \end{matrix}

helyeken mutatja. Így a rúd

\tilde{L} = {\tilde{x}}_{+} - {\tilde{x}}_{-}

látszólagos hossza

\begin{matrix} \tilde{L} = γ L + β γ \sqrt[]{D^{2} + {(γ x_{0} - \frac{L}{2})}^{2}} - β γ \sqrt[]{D^{2} + {(γ x_{0} + \frac{L}{2})}^{2}} . \end{matrix}

2.4. Mivel a rúd állandó

v

sebességgel mozog, azaz

\frac{d x_{0}}{d t} = v

, így a rúd látszólagos hosszára vonatkozó kérdés azt jelenti, hogy az

\tilde{L}

mennyiség növekszik vagy csökken, ha

x_{0}

növekszik. A rúd látszólagos hosszát mutató kifejezésben szereplő két négyzetgyökös tagot a 2. ábra mutatja vázlatosan.

2. ábra

A ,,

-

''-os és a ,,

+

''-os négyzetgyökös kifejezések különbségéről világosan látszik, hogy ez a különbség folyamatosan csökken, miközben

x_{0}

növekszik. Tehát az

\tilde{L}

látszólagos hossz az idő függvényében folyamatosan csökken.

Szimmetrikus kép

2.5. Szimmetria okokból a rúd látszólagos hossza a szimmetrikus képen megegyezik a rúdnak a lyukkamera koordináta-rendszerében mért ,,valódi'' hosszával, mert a rúd két végéről egyszerre elinduló fény egyszerre ér a lyukkamerába. Ennek megfelelően

\tilde{L} = L / γ

(ami természetesen különbözik a rúd nyugalmi rendszerében észlelt

L

hossztól).
2.6. Ebben az esetben a rúd végpontjainak látszólagos helyzetére érvényes az

{\tilde{x}}_{-} = - {\tilde{x}}_{+}

összefüggés, amit így is kifejezhetünk:

\begin{matrix} 0 = {\tilde{x}}_{+} + {\tilde{x}}_{-} = 2 γ^{2} x_{0} - β γ \sqrt[]{D^{2} + {(γ x_{0} + \frac{L}{2})}^{2}} - β γ \sqrt[]{D^{2} + {(γ x_{0} - \frac{L}{2})}^{2}} . \end{matrix}

Hasonlítsuk össze ezt a kifejezést a szimmetrikus helyzetű rúd hosszával:

\begin{matrix} \frac{L}{γ} = {\tilde{x}}_{+} - {\tilde{x}}_{-} = γ L - β γ \sqrt[]{D^{2} + {(γ x_{0} + \frac{L}{2})}^{2}} + β γ \sqrt[]{D^{2} + {(γ x_{0} - \frac{L}{2})}^{2}} . \end{matrix}

Észrevehetjük, hogy a négyzetgyökös tagok kifejezhetők:

\begin{matrix} \sqrt[]{D^{2} + {(γ x_{0} \pm \frac{L}{2})}^{2}} = \frac{2 γ^{2} x_{0} \pm (γ L - \frac{L}{γ})}{2 β γ} = \frac{γ x_{0}}{β} \pm \frac{β L}{2} . \end{matrix}

Akár a ,,

+

'', akár a ,,

-

'' előjelű változatot választjuk, ugyanarra az eredményre jutunk:

\begin{matrix} x_{0} = β \sqrt[]{D^{2} + {(\frac{L}{2 γ})}^{2}} . \end{matrix}

2.7. A szimmetrikus képen a rúd középpontjának látszólagos helyzetét a 2.2. alkérdésre adott válasz alapján számíthatjuk ki:

\begin{matrix} {\tilde{x}}_{0} = γ^{2} x_{0} - β γ \sqrt[]{D^{2} + {(γ x_{0})}^{2}} = β γ (\sqrt[]{{(γ D)}^{2} + {(\frac{L}{2})}^{2}} - \sqrt[]{{(γ D)}^{2} + {(\frac{β L}{2})}^{2}}) . \end{matrix}

A középpont a rúd elejének képétől

l = {\tilde{x}}_{+} - {\tilde{x}}_{0} = \frac{L}{2 γ} - {\tilde{x}}_{0}

távolságra van, amiből

\begin{matrix} l = \frac{L}{2 γ} - β γ \sqrt[]{{(γ D)}^{2} + {(\frac{L}{2})}^{2}} + β γ \sqrt[]{{(γ D)}^{2} + {(\frac{β L}{2})}^{2}}, \end{matrix}

ami így is felírható:

\begin{matrix} l = \frac{L}{2 γ} (1 - \frac{\frac{β L}{2}}{\sqrt[]{{(γ D)}^{2} + {(\frac{L}{2})}^{2}} + \sqrt[]{{(γ D)}^{2} + {(\frac{β L}{2})}^{2}}}) . \end{matrix}

Nagyon korai és nagyon késői képek

2.8. A nagyon korai képek

x_{0}

nagyon nagy negatív értékeihez tartoznak, így a nagyon korai képeken a rúd látszólagos hossza:

\begin{matrix} {\tilde{L}}_{korai} = \tilde{L} (x_{0} \to - \infty) = (1 + β) γ L = \sqrt[]{\frac{1 + β}{1 - β}} L . \end{matrix}

Ugyanígy a nagyon késői képek

x_{0}

nagyon nagy pozitív értékeihez tartoznak, így a nagyon késői képeken a rúd látszólagos hossza:

\begin{matrix} {\tilde{L}}_{késői} = \tilde{L} (x_{0} \to + \infty) = (1 - β) γ L = \sqrt[]{\frac{1 - β}{1 + β}} L . \end{matrix}

A kifejezésekből következik, hogy

{\tilde{L}}_{korai} > {\tilde{L}}_{késői}

, tehát a 3 méteres látszólagos kép korai, míg az 1 méteres késői kép.

Megjegyzés. Az utolsó három részfeladat a múlt havi számunkból tévedésből kimaradt; ezek kérdéseit most pótoljuk. (A szerk.)

2.9. (1 pont) Határozd meg a rúd

v

sebességét!

Az előző kifejezésekből a

β = \frac{v}{c}

arány kifejezhető:

\begin{matrix} β = \frac{{\tilde{L}}_{korai} - {\tilde{L}}_{késői}}{{\tilde{L}}_{korai} + {\tilde{L}}_{késői}}, \end{matrix}

vagyis

β = \frac{1}{2}

, tehát

v = \frac{c}{2}

.
2.10. (0,6 pont) Határozd meg a nyugvó rúd

L

hosszát!
A sebességarányhoz hasonlóan határozható meg

γ

is:

\begin{matrix} γ = \frac{{\tilde{L}}_{korai} + {\tilde{L}}_{késői}}{2 \sqrt[]{{\tilde{L}}_{korai} \cdot {\tilde{L}}_{késői}}} = \frac{2}{\sqrt[]{3}} = 1, 155. \end{matrix}

Ezzel kifejezhető a nyugvó rúd hossza:

L = \sqrt[]{{\tilde{L}}_{korai} \cdot {\tilde{L}}_{késői}} = 1, 73 m

.
2.11. (0,4 pont) Számold ki a szimmetrikus képen látható rúd látszólagos hosszát!
A 2.5. alkérdésnek megfelelően a rúd látszólagos hossza a szimmetrikus képen:

\begin{matrix} \tilde{L} = \frac{2 {\tilde{L}}_{korai} \cdot {\tilde{L}}_{késői}}{{\tilde{L}}_{korai} + {\tilde{L}}_{késői}} = 1, 5 m. \end{matrix}