Kezdőlap


Feladat:	C.873	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakekolo Roger , Posta Éva
Füzet:	2007/április, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus függvények, Gyökös függvények, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/november: C.873

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $a = \sqrt[]{sin x}$ , vagyis a $\sqrt[]{2} a - a^{2}$ másodfokú kifejezést vizsgáljuk.

Megkeressük a zérushelyeit:

\begin{matrix} - a^{2} + \sqrt[]{2} a = 0, a (- a + \sqrt[]{2}) = 0. \end{matrix}

Tehát a zérushelyek:

a_{1} = 0

a_{2} = \sqrt[]{2}

.
Mivel

a^{2}

együtthatója negatív, azért a függvény a két zérushelyének számtani közepében veszi fel a maximumát, azaz

\begin{matrix} a = \sqrt[]{sin x} = \frac{\sqrt[]{2}}{2}, sin x = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

x_{1} = \frac{π}{6} + 2 k_{1} π

(

k_{1} \in Z)

x_{2} = \frac{5 π}{6} + 2 k_{2} π

(

k_{2} \in Z)

II. megoldás.

\begin{matrix} \sqrt[]{2 sin x} - sin x & = \sqrt[]{sin x} \cdot (\sqrt[]{2} - \sqrt[]{sin x}) \leq \\ \leq {(\frac{\sqrt[]{sin x} + \sqrt[]{2} - \sqrt[]{sin x}}{2})}^{2} = {(\frac{\sqrt[]{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Felhasználtuk a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség négyzetre emelt alakját:

a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2}

, ahol egyenlőség

a = b

esetén van.
A fenti kifejezés maximuma tehát

\frac{1}{2}

, és ezt akkor veszi fel, ha

\sqrt[]{sin x} = \sqrt[]{2} - \sqrt[]{sin x}

, amiből

sin x = \frac{1}{2}

. Ebből következik, hogy a kifejezés értéke

x_{1} = \frac{π}{6} + 2 k_{1} π

(

k_{1} \in Z)

és

x_{2} = \frac{5 π}{6} + 2 k_{2} π

(

k_{2} \in Z)

esetén a legnagyobb.