|
Feladat: |
B.3871 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Dányi Zsolt , Honner Balázs , Kardos Kinga Gabriella , Károlyi Márton , Komáromy Dani , Kovács 111 Péter , Kovács 129 Péter , Mészáros Gábor , Németh Attila György , Páldy Sándor , Sümegi Károly , Szakács Nóra , Szalkai Balázs , Szalóki Dávid , Szilágyi Csaba , Szolnoki Lénárd , Szűcs Gergely , Tomon István , Udvari Balázs , Werner Miklós |
Füzet: |
2006/november,
480. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Logaritmusos egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/december: B.3871 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Új ismeretlenként legyen , ekkor ; ezzel egyenletünk a , illetve rendezés után a alakot ölti. A és függvények szigorúan monoton növekedőek, ezért összegük is az. Az egyenlet bal, illetve jobb oldalán ennek a szigorúan monoton növő összegfüggvénynek az , illetve helyen fölvett értéke áll; ezek pontosan akkor egyenlőek, ha , azaz A 2-nek megfelelő hatványait képezve és rendezve: vagyis miatt . Itt az függvény grafikonja szigorúan konvex, az függvény görbéje pedig egyenes. A két görbének ezért legfeljebb két közös pontja lehet, így az egyenletnek legfeljebb két megoldása van. Két megoldást viszont könnyen kitalálhatunk: és nyilván megoldások, és ezek szerint más megoldás nincsen. |
|