Feladat: B.3871 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dányi Zsolt ,  Honner Balázs ,  Kardos Kinga Gabriella ,  Károlyi Márton ,  Komáromy Dani ,  Kovács 111 Péter ,  Kovács 129 Péter ,  Mészáros Gábor ,  Németh Attila György ,  Páldy Sándor ,  Sümegi Károly ,  Szakács Nóra ,  Szalkai Balázs ,  Szalóki Dávid ,  Szilágyi Csaba ,  Szolnoki Lénárd ,  Szűcs Gergely ,  Tomon István ,  Udvari Balázs ,  Werner Miklós 
Füzet: 2006/november, 480. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Logaritmusos egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/december: B.3871

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Új ismeretlenként legyen y=log2(x2+2x), ekkor x2+2x=2y; ezzel egyenletünk a 2y-2x-x-1=2x-y, illetve rendezés után a

2y+y=2x+1+(x+1)
alakot ölti. A tt és t2t függvények szigorúan monoton növekedőek, ezért összegük is az. Az egyenlet bal, illetve jobb oldalán ennek a szigorúan monoton növő összegfüggvénynek az y, illetve x+1 helyen fölvett értéke áll; ezek pontosan akkor egyenlőek, ha y=x+1, azaz
log2(x2+2x)=x+1.
A 2-nek megfelelő hatványait képezve és rendezve:
x2+2x=2x+1,x2=2x,
vagyis x>0 miatt x=2x2. Itt az x2x2 függvény grafikonja szigorúan konvex, az xx függvény görbéje pedig egyenes. A két görbének ezért legfeljebb két közös pontja lehet, így az egyenletnek legfeljebb két megoldása van. Két megoldást viszont könnyen kitalálhatunk: x1=2 és x2=4 nyilván megoldások, és ezek szerint más megoldás nincsen.