A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelölje az háromszög derékszögű csúcsát . Ekkor a és oldalegyeneseket meghosszabbítva a háromszöget belehelyezhetjük egy egységnyi oldalhosszú négyzetbe. Mivel a átló hossza , így éppen a keresett pont, vagyis a szöget kell meghatároznunk. (Megjegyzés: igazolható, hogy az háromszög befogói 1 egységnél rövidebbek.)
Az háromszög oldalait jelölje a szokásos módon , és , továbbá a pontból -re állított merőleges talppontját jelöljük -vel, végül legyen (lásd az ábrát). A négyzet területe egységnyi, így Mivel a háromszög kerülete 2, azért Ezt az előző egyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy A Pitagorasz-tétel alapján , a négyzetre emelés és az egyszerűsítés után ez az egyenlet alakra hozható, amiből pedig . Ezt a korábbi, -re kapott összefüggésbe behelyettesítve -et kapunk. Mivel , azért a és derékszögű háromszögek egybevágók. Hasonlóan belátható a és háromszögek egybevágósága is. Ebből következik, hogy , illetve . Vagyis a szög a derékszög fele, azaz -os szögben látszik az átfogó a kérdéses pontból.
Megjegyzés. A egyenlőségből kapjuk, hogy a pont éppen a háromszög átfogójához hozzáírt kör középpontja. Ismeretes, hogy derékszögű háromszögben az átfogóhoz írt kör sugara egyenlő a félkerülettel ‐ ami jelen esetben 1 egység ‐, az állítás lényegében a fenti megoldásban alkalmazott gondolatmenettel bizonyítható. Továbbá a külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő, így és deltoidok, amiből szintén megkaphatjuk a feladat megoldását.
II. megoldás. Használjuk az előző megoldás ábráját, legyen továbbá és . Az előző megoldásban igazolt egyenletet átrendezve Ekkor és . Továbbá | | A tangensfüggvény addíciós képletét felhasználva | | Tehát , amiből . Mivel , azért a keresett szög nagysága .
Megjegyzés. Szögfüggvények használatával egy másik megoldást is kaphatunk, ha először felírjuk a és háromszögek , illetve oldalára a koszinusztételt (innen és adódik), majd újból alkalmazzuk a koszinusztételt a háromszög oldalára (amiből adja a végeredményt). Néhányan ugyanezt a megoldást koordináta-geometriai úton igazolták, ekkor az szög nagysága a és vektorok skaláris szorzatából számítható ki.
III. megoldás. Használjuk az előző megoldások jelöléseit. Forgassuk el a háromszöget körül pozitív irányban -kal. Mivel , és , azért a forgatás után a háromszöget kapjuk, amelynek csúcsa rajta van az egyenesen.
Mivel , (a forgatás miatt), valamint , azért az és háromszögek egybevágók, ebből adódóan . A forgatás alapján , innen tehát . |
|