Kezdőlap


Feladat:	B.3938	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Salát Zsófia
Füzet:	2007/március, 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Szélsőérték-feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: B.3938

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Pozitív egészek összege csak véges sokféleképpen lehet 2006, ezért a kérdéses összegnek létezik minimuma. Írjuk fel az összeget a következő alakban:

\begin{matrix} (\binom{a_{1}}{2}) + ... + (\binom{a_{10}}{2}) = \frac{a_{1}^{2} - a_{1}}{2} + ... + \frac{a_{10}^{2} - a_{10}}{2} = \frac{a_{1}^{2} + ... a_{10}^{2}}{2} - 1003. \end{matrix}

Innen látható, hogy elegendő a négyzetösszeg legkisebb értékét megtalálni. Legyen az

a_{i}

számok közül hatnak az értéke 201, a többi négyé pedig 200; ez a feladat feltételeit kielégítő egyetlen olyan megoszlás, amikor a tíz szám közül bármelyik kettőnek a különbsége legfeljebb 1. Megmutatjuk, hogy minden más esetben a számokat a feltételek keretein belül meg tudjuk változtatni úgy, hogy a négyzetösszegük csökkenjen. Ilyenkor ugyanis mindig létezik köztük kettő,

a

és

b

, amelyekre például

a \geq b + 2

; helyettesítsük

a

-t

(a - 1)

-gyel,

b

-t pedig

(b + 1)

-gyel. Ekkor

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2}) - ({(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}) = 2 (a - b - 1) \geq 2. \end{matrix}

A négyzetösszeg tehát csak a fenti esetben veheti fel a minimumát, ami ezek szerint

6 \cdot 201^{2} + 4 \cdot 200^{2} = 402 406

, a feladatban szereplő összeg legkisebb értéke ezért

\begin{matrix} \frac{402 406}{2} - 1003 = 200 200. \end{matrix}