Kezdőlap


Feladat:	B.3935	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Korom Vellás Judit , Kozma Márton
Füzet:	2007/március, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: B.3935

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Annak a valószínűsége, hogy $n$ előadáson egyszer sem látja azt a szereposztást egy szereppárból, amit szeretne, $\frac{1}{2^{n}}$ , mert összesen $2^{n}$ -féleképpen sorsolhatják ki a szerepeket, és ebből csak egy esetben fordul elő, hogy mindig azt sorsolják ki, amit már látott. Tehát annak a valószínűsége, hogy legalább egyszer a megfelelő párosítást látja, $1 - \frac{1}{2^{n}}$ . Mivel három párosítás van (és ezek sorsolása egymástól független), annak a valószínűsége, hogy mind a hármat látja a kívánt szereposztásban, ${(1 - \frac{1}{2^{n}})}^{3}$ . Ez a valószínűség legalább 90%: ${(1 - \frac{1}{2^{n}})}^{3} \geq 0, 9$ . Ezt átalakítva és rendezve:

\begin{matrix} 1 - \frac{1}{2^{n}} & \geq \sqrt[3]{0, 9}, \\ 1 - \sqrt[3]{0, 9} & \geq \frac{1}{2^{n}}, \\ 2^{n} & \geq \frac{1}{1 - \sqrt[3]{0, 9}} \approx 28, 9766, \\ n & \geq 5. \end{matrix}

Vagyis 5 előadásra kell még elmennie.

II. megoldás. Ismét annak a valószínűségét számoljuk ki, hogy

n

előadáson egyszer sem látja azt a szereposztást valamelyik szereppárból, amit szeretne. Ekkor valamelyik szereposztás-pár állandó. Három pár van, ezért ennek a valószínűsége

3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}

. Ekkor azonban kétszer számoltuk azokat az eseteket, amikor két pár is állandó marad, tehát ennek a valószínűségét a kapott eredményből le kell vonni. Viszont így azokat az eseteket is levontuk, amikor mindhárom pár állandó, így azt hozzá kell még adni:

\begin{matrix} p = 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} - 3 \cdot {({(\frac{1}{2})}^{2})}^{n} + {({(\frac{1}{2})}^{3})}^{n} . \end{matrix}

Legyen

{(\frac{1}{2})}^{n} = x

, ekkor

\begin{matrix} 1 - (3 x - 3 x^{2} + x^{3}) \geq 0, 9, {(1 - x)}^{3} \geq 0, 9. \end{matrix}

Innen már az I. megoldásban látott számolás következik.