Feladat: B.3904 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Sümegi Károly 
Füzet: 2006/október, 416. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/április: B.3904

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Állítsunk a B csúcsból is merőlegest az AC szár egyenesére, ennek talppontja legyen G. Ekkor BG és ED párhuzamosságából következik (a párhuzamos szelők tétele miatt), hogy

GE:GC=BD:BC=2:1,
azaz E felezi a GC szakaszt.
 
 

Mivel D az egyenlő szárú ABC háromszög alapjának felezőpontja, AD merőleges BC-re. Az ADE és BCG derékszögű háromszögek hasonlóak, mert DAE∢=CBG∢=90∘-BCA∢. E két hasonló háromszögben F a DE oldalnak, E pedig a neki megfelelő CG oldalnak a felezőpontja, így az ADF és BCE háromszögek is hasonlók. Mivel a háromszögek azonos körüljárásúak is és az egymásnak megfelelő AD és BC oldalak merőlegesek egymásra, ugyanez igaz az egymásnak szintén megfelelő AF és BE oldalakra is.