Kezdőlap


Feladat:	2006. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kis Gergely
Füzet:	2006/október, 391. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: 2006. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik olyan $α_{0}$ egész, amelyre $Q (α_{0}) = P^{(k)} (α_{0}) = α_{0}$ és $P (α_{0}) \neq α_{0}$ . Legyen $α_{j + 1} = P (α_{j})$ és jelölje $i$ azt a legkisebb pozitív egészt, amelyre $α_{i} = α_{0}$ . Nyilván $2 \leq i \leq k$ . Ismeretes, hogy ha $P (x)$ egész együtthatós polinom, $a \neq b$ egészek, akkor $a - b | P (a) - P (b)$ , így fennállnak az alábbi oszthatóságok:

\begin{matrix} α_{1} - α_{0} | P (α_{1}) - P (α_{0}) = α_{2} - α_{1} | α_{3} - α_{2} | ... | α_{i} - α_{i - 1} | α_{i + 1} - α_{i} = α_{1} - α_{0} . \end{matrix}

x \neq y

egészek és

y \neq 0

, akkor

| y | \geq | x |

. Így, mivel a fenti oszthatósági láncban szereplő első és utolsó különbség azonos, ezeknek a különbségeknek az abszolút értéke állandó. Jelölje ennek az állandónak az értékét

φ

(

φ \neq 0

).
Azt állítjuk, hogy

α_{j + 1} - α_{j} = α_{j} - α_{j - 1}

nem teljesülhet minden

j

-re. Ellenkező esetben ugyanis

α_{0} \pm i φ = α_{i} = α_{0}

volna, vagyis

i φ = 0

, ami ellentmondás. Az

α_{j}

-k rendezése tehát nem monoton, van tehát olyan

j

, ahol megfordul, azaz

(α_{j + 1} - α_{j}) = (- 1) (α_{j} - α_{j - 1})

. Erre a

j

-re így

α_{j + 1} = α_{j - 1}

következik. Ekkor

P^{(i - j + 1)} (α_{j + 1}) = P^{(i - j + 1)} (α_{j - 1})

. Ez utóbbi egyenlőség pedig akkor és csak akkor teljesül, ha

α_{2} = α_{0}

, tehát

i = 2

, azaz

P (α_{0}) = α_{1}

és

P (α_{1}) = α_{0}

.
Legyenek ezután

β_{0}

és

β_{1}

olyan, az

α_{0}

α_{1}

számok mindegyikétől különböző egészek, amelyekre ugyancsak teljesül, hogy

P (β_{0}) = β_{1}

és

P (β_{1}) = β_{0}

. (

β_{0} = β_{1}

lehetséges.) Ekkor

α_{0} - β_{0} | α_{1} - β_{1} | α_{0} - β_{0}

és

α_{0} - β_{1} | α_{1} - β_{0} | α_{0} - β_{1}

. Ebből következik, hogy

\begin{matrix} α_{0} - β_{0} = α_{1} - β_{1} vagy α_{0} - β_{0} = β_{1} - α_{1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} α_{0} - β_{1} = α_{1} - β_{0} vagy α_{0} - β_{1} = β_{0} - α_{1} . \end{matrix}

Rendezés után a két részállítás második tagja ugyanazt mondja:

\begin{matrix} α_{0} + α_{1} = β_{0} + β_{1}, \end{matrix}

(1)

az első tagok pedig:

α_{0} - α_{1} = β_{0} - β_{1}

, illetve

α_{0} - α_{1} = β_{1} - β_{0}

egyszerre nem teljesülhetnek, hiszen feltevésünk szerint

α_{0} - α_{1} \neq 0

. A két részállítás közül tehát legalább az egyikben a második tag teljesül, azaz (1) mindenképpen igaz, mégpedig attól függetlenül, hogy

β_{0}

és

β_{1}

egyenlők-e vagy sem.

I. Létezik olyan

α_{0}

egész, amelyre

P (P (α_{0})) = α_{0}

, de

P (α_{0}) \neq α_{0}

. Ekkor minden

t

egész számra, amelyre

Q (t) = t

, fennáll, hogy

P (t) + t = P (α_{0}) + α_{0}

. A

P (x) + x - P (α_{0}) - α_{0}

polinom

n

-edfokú, ezért legfeljebb

n

ilyen

t

létezik.

II. Nincs ilyen

α_{0}

egész. Ekkor minden olyan

t

egészre, amelyre

Q (t) = t

fennáll, arra

P (t) = t

is teljesül. Mivel a

P (x) - x

polinom

n

-edfokú, legfeljebb

n

darab ilyen

t

létezhet. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.