Kezdőlap


Feladat:	2006. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2006/október, 389 - 390. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Diofantikus egyenletek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: 2006. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha $x < 0$ , akkor (1) bal oldala nagyobb $1$ -nél és kisebb $4$ -nél, tehát ekkor $y$ nem egész.
Ha $x = 0$ , akkor $y \in {- 2,2}$ ; két megoldást kapunk.
Ha $x = 1$ , akkor $y^{2} = 11$ , nem megoldás.
Ha $x = 2$ , akkor $y^{2} = 37$ , nem megoldás.
Ha $x > 2$ , akkor $(1)$ bal oldala páratlan, tehát ha $y$ egész, akkor $y = 2 k + 1$ valamilyen $k$ egész számra. Ekkor (1) $1 + 2^{x} + 2^{2 x + 1} = {(2 k + 1)}^{2}$ alakú, ahonnan rendezés után

\begin{matrix} 2^{x - 2} (1 + 2^{x + 1}) & = k (k + 1) . & (2) \end{matrix}

A jobb oldali szorzat egyik tényezője páratlan, a másik páros, így az, amelyik páros, osztható

2^{x - 2}

-nel. Az is föltehető, hogy

k

nem negatív, hiszen a

k

negatív, illetve nemnegatív értékeire

k (k + 1)

ugyanazokat az értékeket veszi fel. (2) bal oldala pozitív, így

k

is pozitív.
1. eset:

k

páros. Ekkor

2^{x - 2} | k

, azaz van olyan

b

pozitív egész, hogy

k = b \cdot 2^{x - 2}

. Ezt

(2)

-be írva

\begin{matrix} 2^{x - 2} (1 + 2^{x + 1}) & = b \cdot 2^{x - 2} (b \cdot 2^{x - 2} + 1), azaz \\ 1 + 2^{x + 1} & = b^{2} \cdot 2^{x - 2} + b . & (3) \end{matrix}

Innen leolvasható, hogy

b | 1 + 2^{x + 1}

, tehát

b

páratlan. Ha

b = 1

, akkor

1 + 2^{x + 1} > 2^{x - 2} + 1

(3)

jobb oldala kisebb, mint a bal. Ha

b > 1

, akkor

b \geq 3

, és így

\begin{matrix} b^{2} \cdot 2^{x - 2} + b \geq 9 \cdot 2^{x - 2} + 3 > 8 \cdot 2^{x - 2} + 1 = 2^{x + 1} + 1, \end{matrix}

(3) jobb oldala nagyobb, mint a bal. Az 1. esetben tehát nem kapunk újabb megoldást.
2. eset:

k + 1

páros. Ekkor

2^{x - 2} | k + 1

, azaz van olyan

c

pozitív egész, hogy

k = c \cdot 2^{x - 2} - 1

. Ezt

(2)

-be írva

\begin{matrix} 2^{x - 2} (1 + 2^{x + 1}) & = (c \cdot 2^{x - 2} - 1) c \cdot 2^{x - 2}, azaz \\ 1 + 2^{x + 1} & = c^{2} \cdot 2^{x - 2} - c . & (4) \end{matrix}

Most is igaz, hogy

c \geq 1

és páratlan, így az előzőhöz hasonló vizsgálatot végezhetünk.
Ha

c = 1

, akkor a

(4)

jobb oldala

2^{x - 2} - 1

, kisebb, mint a bal oldal, ekkor nem kapunk megoldást.
Ha

c = 3

, akkor a (4) egyenlőség

: 1 + 2^{x + 1} = 9 \cdot 2^{x - 2} - 3

. Rendezés után kapjuk, hogy

4 = 2^{x - 2}

, azaz

x = 4

. Ekkor (1) bal oldala

1 + 2^{4} + 2^{9} = 23^{2}

, két megoldást kapunk:

y = - 23

y = 23

.
Ha

c \geq 5

, akkor (4) jobb oldalát átalakítva

\begin{matrix} c^{2} \cdot 2^{x - 2} - c = 2^{x + 1} + (c^{2} - 8) 2^{x - 2} - c > 2^{x + 1} + c^{2} - 8 - c . \end{matrix}

c \geq 5

, akkor

c^{2} - 8 - c > 1

, tehát (4) jobb oldala nagyobb, mint a bal oldala, így több megoldást már nem kapunk.
A feladat feltételei tehát négy számpárra teljesülnek. Ezek:

(0; 2)

(0; - 2)

(4; 23)

(4; - 23)