Feladat: 2006. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Erdélyi Márton 
Füzet: 2006/október, 388 - 389. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szélsőérték-feladatok, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/szeptember: 2006. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 13. feladata

Határozzuk meg a legkisebb olyan M valós számot, amire az
|ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)|M(a2+b2+c2)2
egyenlőtlenség teljesül minden a, b, c valós számra.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.1 Vegyük észre, hogy az egyenlőtlenség bal oldalán az abszolút érték belsejében álló kifejezés bármely két változó cseréje nyomán előjelet vált, és így bármely két változó különbségével osztható. Szorzattá alakítva kapjuk, hogy a bal oldal |(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|. Az x=a-b, y=b-c, z=c-a, t=a+b+c új változókat bevezetve egyrészt x2+y2+z2+t2=3(a2+b2+c2), másrészt minden olyan x, y, zt számnégyesre, amelyre x+y+z=0, egyértelműen léteznek a megfelelő a, b, c mennyiségek. Keressük tehát a legkisebb olyan M számot, amelyre

|xyzt|M(x2+y2+z2+t2)29.(1)
A három új változó, x, y és z között van két azonos előjelű, föltehető, hogy ezek x és y. Mindkettejüket a számtani közepükkel helyettesítve a bal oldal értéke nő (nem csökken), a jobb oldal értéke pedig csökken (nem nő). (Ez nyomban adódik a mértani, számtani és a négyzetes közepek közti egyenlőtlenségből.) Föltehető tehát, hogy x=y(=-z2). Legyen u=|x|=|y|=|z2| és v=|t|. Ezekkel a változókkal (1) a
2u3vM(6u2+v2)29(2)
alakba írható. A (2) egyenlőtlenséget 2-vel szorozva kapjuk, hogy
8u3v29M(6u2+v2)2,
amit az alábbi alakban is írhatunk:
2u2u2uv29M16((2u)2+(2u)2+(2u)2+v24)2.
Negyedik gyököt vonva:
2u2u2uv41629M4(2u)2+(2u)2+(2u)2+v24.(3)
Ha M=9162, akkor (3) éppen a mértani és a négyzetes közepek közti azonosan teljesülő egyenlőtlenség, ami azt jelenti, hogy M9162. Ez a becslés viszont éles, ugyanis ha például a=3+2, b=2, c=2-3, akkor a feladat egyenlőtlenségében az egyenlőség teljesül. Az M keresett értéke így 9162.
1Más megoldások alapján.