Kezdőlap


Feladat:	2660. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Koch György , Környei László
Füzet:	1993/január, 38 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Mozgásegyenletek gyorsuló koordináta-rendszerekben, Szabadesés, Egyéb körmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/május: 2660. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Amikor a fonál függőlegessé válik, a $B$ golyó sebessége, az energiamegmaradás törvénye alapján

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g L}, \end{matrix}

a gyorsulása pedig függőlegesen felfelé mutató vektor, nagysága

\begin{matrix} a_{cp} = \frac{v^{2}}{L} = 2 g . \end{matrix}

A mozgásegyenlet szerint (1.ábra)

\begin{matrix} K - m g = m a, \end{matrix}

ahol

K

a fonalat feszítő erő:

\begin{matrix} K = 3 m g = 29, 4 N . \end{matrix}

1. ábra

\begin{matrix} ω = \frac{v / 2}{L / 2} = \frac{v}{L} \end{matrix}

szögsebességgel forog (2. ábra).
Az

m

tömegű

A

test akkor nem szakad el az elektromágnestől, ha a mágnes legalább

\begin{matrix} F = m g + K = 4 m g = 39, 2 N \end{matrix}

erőt képes kifejteni. (Könnyen belátható, hogy a fonál ferde helyzeténél a fonalat feszítő erő kisebb, mint a fenti

K

, tehát egy

F

,,teherbírású'' mágnesről a függőleges helyzet elérése előtt nem szakadhat le az

A

golyó.)
Közvetlenül a mágnes kikapcsolása után az

A

test áll, a

B

test pedig

v

vízszintes sebességgel mozog, a két testből álló rendszer tehát a

v / 2

sebességgel haladó tömegközéppontja körül

2. ábra

Ha a rendszer mozgását a tömegközéppontjával együtt szabadon eső, tehát függőlegesen lefelé

g

gyorsulással mozgó koordinátarendszerből szemléljük, a ,,súlytalanság'' állapotát észleljük. A fonalat feszítő erő ‐ amelynek nagysága nyilván független attól, hogy egy inerciarendszerből, vagy pedig egy gyorsuló koordinátarendszerből figyeljük a testek mozgását, ‐ az

ω

szögsebességű mozgáshoz tartozó centripetális erő:

\begin{matrix} K_{1} = m \frac{L}{2} ω^{2} = \frac{m v^{2}}{2 L} = m g = 9, 8 N . \end{matrix}

Ekkora erő feszíti a fonalat közvetlenül az elektromágnes kikapcsolása után és a továbbiakban mindaddig, amíg valamelyik test a padlóhoz nem ütődik. Ezzel az a) és a b) kérdésekre választ adtunk.
c) A

B

test akkor érkezhet függőleges fonálhelyzetben a padlóra, ha a szabadon eső és közben egyenletes forgómozgást végző rendszer a mágnes kikapcsolása után egész számú fordulatot tesz meg. Ennek feltétele az, hogy az esés ideje

\begin{matrix} T = n \frac{2 π L}{v}, n= 1, 2, ... \end{matrix}

vagyis a szobamagasság

\begin{matrix} h = \frac{g}{2} T^{2} + L \end{matrix}

legyen. Szokásos lakószobák esetén csak az

n = 1

körülfordulás jöhet számításba, ekkor a fenti összefüggésből numerikusan

h = 4, 3

m adódik. (Az

n = 2

eset kb. 16 m-es magasságnál valósulhatna meg!)
d) A két golyóból álló rendszer tömegközéppontja vízszintes irányban egyenletesen,

v / 2

sebességgel mozog, így

T

idő alatt

\begin{matrix} s = \frac{v}{2} T = L π = 1, 26 m \end{matrix}

utat tesz meg. Mivel a földetérés pillanatában a fonál éppen függőleges, a

B

golyó vízszintes elmozdulása ugyancsak 1,26 m.

3. ábra

A padlóra érkezés pillanatában (3. ábra) a

B

golyó vízszintes sebessége a tömegközéppont

v / 2

és a forgómozgásból adódó

v / 2

sebesség összege, tehát

\begin{matrix} v_{1} = v = \sqrt[]{2 g L} = 2, 8 m/s . \end{matrix}

A függőleges sebesség a tömegközéppont függőleges sebességével egyezik meg:

\begin{matrix} v_{2} = g \cdot T = g \cdot \frac{2 π L}{\sqrt[]{2 g L}} = 8,8 m/s . \end{matrix}

A teljes sebesség nagysága

\begin{matrix} v_{3} = \sqrt[]{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = 9,2 m/s, \end{matrix}

a függőlegessel bezárt szöge pedig

\begin{matrix} α = arc tg \frac{v_{1}}{v_{2}} = arc tg \frac{1}{π} = 17, 7^{\circ} . \end{matrix}

Ugyanebben a pillanatban az

A

golyó vízszintes sebessége

v / 2 - v / 2 = 0

, függőleges sebessége pedig a

B

testével megegyező.

Koch György (PAV Műszaki Szki., II. o. t.) és
Környei László (Győr, Czuczor G. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján.