Kezdőlap


Feladat:	4036. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Maknics András
Füzet:	2008/május, 311 - 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: 4036. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A körív alakú lejtőre felcsúszó test és a lejtő közötti kölcsönhatás következtében mindkét test mozgásállapota megváltozik. A kocsit elhagyó test a kocsihoz képest $α = 45^{\circ}$ -os, a talajhoz viszonyítva ennél kisebb $(β)$ szögű ferde hajításnak megfelelő mozgást végez, a kocsi pedig egyenletesen mozog.
A kölcsönhatás (tulajdonképpen ,,puha'' ütközés) során megmarad a rendszer vízszintes ( $x$ irányú) lendülete, továbbá a rendszer mechanikai összenergiája. Ha az egyenletesen mozgó kocsi sebességét $v_{k}$ -val, a lerepülő test kezdősebességének vízszintes komponensét $v_{0 x}$ -szel, a függőleges sebességkomponenst pedig $v_{0 y}$ -nal jelöljük, a lendületmegmaradás egyenlete:

\begin{matrix} m v = m v_{0 x} + m v_{k}, \end{matrix}

(1)

az energiamegmaradás pedig:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{k}^{2} + \frac{1}{2} m v_{0 x}^{2} + \frac{1}{2} m v_{0 y}^{2} + m g h, \end{matrix}

(2)

ahol

\begin{matrix} h = R - R cos α = 0, 4 m (1 - 0, 707) = 0, 117 m \end{matrix}

a lejtő magassága.
A lejtőt elhagyó test kocsihoz viszonyított kezdősebessségének

x

és

y

összetevője egyenlő, a talajhoz viszonyított sebességösszetevőkre pedig fennáll:

\begin{matrix} v_{0 x} = v_{0 y} + v_{k} . \end{matrix}

(3)

Az (1) és (3) egyenletekből

v_{0 x}

és

v_{0 y}

kifejezhető a kocsi

v_{k}

sebességével:

\begin{matrix} v_{0 x} = v - v_{k}, v_{0 y} = v - 2 v_{k} . \end{matrix}

Ezeket (2)-be helyettesítve a kocsi sebességére egy másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} v_{k}^{2} - v \cdot v_{k} + \frac{v^{2} + 2 g h}{6} = 0, \end{matrix}

melynek megoldása és a másik két sebességkomponens értéke:

\begin{matrix} v_{k} = 1, 2 \frac{m}{s}, v_{0 x} = 3, 8 \frac{m}{s}, v_{0 y} = 2, 6 \frac{m}{s} . \end{matrix}

(A másik megoldásban

v_{0 y} < 0

, az tehát számunkra érdektelen.)
A ferde hajítás

t

idejét a lerepülő test függőleges irányú mozgásából határozhatjuk meg:

\begin{matrix} h + v_{0 y} \cdot t - \frac{g}{2} t^{2} = 0, \end{matrix}

ahonnan (a pozitív megoldást választva)

t = 0, 57

s adódik. Ennyi idő alatt a test vízszintes irányú elmozdulása:

s_{1} = v_{0 x} \cdot t = 2, 15 m

, a kocsi elmozdulása pedig

s_{2} = v_{k} \cdot t = 0, 68 m

. A test akkor esik éppen a kocsi végére, ha

\begin{matrix} s_{1} = s_{2} + \frac{L}{2}, \end{matrix}

azaz a kocsi hossza

\begin{matrix} L = 2 (s_{1} - s_{2}) \approx 2, 9 m. \end{matrix}