Kezdőlap


Feladat:	4032. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Gábor
Füzet:	2008/május, 310 - 311. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgási indukció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: 4032. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy mekkora erők hatnak a fémkorong olyan elektronjára, amely $r$ távolságra van az $ω$ szögsebességgel forgó korong tengelyétől! A $q$ töltésű, $v = r ω$ sebességű elektronra $B$ indukciójú mágneses mező

\begin{matrix} F_{mágn.} = B q r ω \end{matrix}

Lorentz-erőt fejt ki, amely a forgás irányától függően vagy a tengely irányába, vagy azzal ellentétesen mutat.
Ha a fémben a kérdéses helyen valamilyen ok miatt

E (r)

nagyságú, sugár irányú elektromos mező alakul ki, ez a mező

\begin{matrix} F_{elektr.} = q E (r) \end{matrix}

nagyságú, sugár irányú erőt fejt ki az elektronra.
Az elektronok a korongot alkotó fém kristályrácsához képest szabadon elmozdulhatnak, a kristályrács tehát a hozzá képest mozdulatlan elektronokra nem fejthet ki erőt! Az elektronok az elektromos és mágneses erők hatására

r

sugarú körpályán egyenletes körmozgást végeznek, tehát a sugár irányú gyorsulásuk

r ω^{2}

. Az

m

tömegű elektronok Newton-féle mozgásegyenlete:

\begin{matrix} B q r ω + q E (r) = m r ω^{2}, \end{matrix}

ahonnan kifejezhetjük a korong belsejében kialakuló sugár irányú elektromos térerősséget:

\begin{matrix} E (r) = (\frac{m}{q} ω^{2} - B ω) r . \end{matrix}

A korong tengelye és az attól

R

távolságra levő széle között (csúszó érintkezőkkel ellátott voltmérővel) mérhető feszültség

\begin{matrix} U = E_{átlag} R = \frac{1}{2} E (R) \cdot R = (\frac{m}{q} ω^{2} - B ω) \frac{R^{2}}{2} . \end{matrix}

Láthatjuk, hogy csak akkor nem indukálódik feszültség a korong tengelye és a széle között, ha a zárójelben álló kifejezés nulla, vagyis ha

\begin{matrix} ω = B \frac{q}{m} \approx 1760 \frac{1}{s} . \end{matrix}

Megjegyzés. Szokásos körülmények között (nem túl nagy fordulatszám és nem nagyon gyenge mágneses mező esetén)

\begin{matrix} \frac{m}{q} ω^{2} ≪ B ω, \end{matrix}

emiatt a mozgásegyenletben szereplő ,,tehetetlenségi'' tagot a Lorentz-erő mellett elhanyagolhatjuk. Ilyenkor az indukált feszültség nagysága

\begin{matrix} | U | = | B | \frac{R^{2} ω}{2} = | B | \cdot v_{átlag} \cdot R . \end{matrix}

A feladatban szereplő ,,feszültségmentes eset'' csak akkor valósulhat meg, ha a forgás szögsebessége nagyon nagy (ezt a fémkorong mechanikai szakítószilárdsága általában nem teszi lehetővé), vagy akkor, ha a külső mágneses mező szokatlanul gyenge. A feladatban szereplő mező is ilyen, a földi mágneses mezőnél 4 nagyságrenddel (!) gyengébb. Ha tehát ténylegesen meg akarnánk valósítani a feladatban szereplő állapotot, a földmágnesség hihetetlenül precíz leárnyékolását is ,,ügyesen'' meg kellene oldanunk.