Feladat: 4021. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  (G. P.) 
Füzet: 2008/május, 305 - 308. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Optikai rácsok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/november: 4021. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az izzólámpa függőleges szála vízszintes irányban kicsiny méretű, így ebben az irányban közelítőleg ,,pontszerűnek'' tekinthető.
Tekintsük először az optikai rács nélküli esetet! A vetítőlencse az enyhén széttartó fénysugarakat kicsit megtöri, összetartóvá teszi, s a fehér fal bizonyos helyére irányítja. Ez látható felülnézetben az 1. ábrán.

 

 
1. ábra
 

Helyezzünk most egy optikai rácsot közvetlenül a lencse mögé! A lencsét éppen elhagyó fény közel párhuzamos ,,sugarakból'' áll, de a rács hatásának leírása érdekében helyesebb úgy fogalmaznunk, hogy a fény közel párhuzamos hullámfrontokkal leírható síkhullám. Ez a hullám az optikai rácson elhajlást szenved, és csak olyan irányokban haladhat tovább, amelyekben a szomszédos résekből érkező fény útkülönbsége a λ hullámhossz egész számú többszöröse:
Δs=n⋅λ.
Az n egész szám az elhajlás rendje, n=0,±1,±2,.... A nulladrendű (n=0) esetben a fény úgy halad tovább, mintha a rács ott sem lenne, tehát az izzószál éles képe a falon ugyanott jön létre, ahová a lencse korábban leképezte. Ez a hely független a fény hullámhosszától (a fény színétől), tehát a nulladrendű kép tartalmazza az izzószál teljes spektrumát, fehér lesz.
Az első- és magasabbrendű elhajlásoknak megfelelő szögeltérítést a rács ismert
sinα=n⋅λd
képletéből számolhatjuk ki. Az ilyen szögben eltérített, de a lencse miatt kicsit összetartó fény a fehér falon az eredeti helyéhez képest vízszintesen eltolódva gyűlik össze, ott alkot képet. A 2. ábrán felülnézetben szemléltetjük az ernyőn megfigyelhető függőleges vonalak keletkezését. Mivel az eltolódás mértéke függ a fény hullámhosszától, az n≠0 rendű képek színesek lesznek.
 

 
2. ábra
 

Ha az optikai rácsot a lencse elé helyezzük, akkor hasonló jelenség játszódik le. A rács a közel párhuzamosan érkező fényt különböző rendekben elhajlítja, és mindegyik elhajlási rend fénye úgy érkezik a lencséhez, mintha az nem az izzószál tényleges helyéről, hanem egy attól eltérő (rendenként más és más) pontból indult volna. Ennek megfelelően a rács mögötti lencse az izzószálról több képet hoz létre a falon, az n=0 rendű kép éles, fehér és ugyanott található, ahol a rácsmentes esetben. A többi rend színes és elmosódott, hiszen az izzószálból kiinduló különböző hullámhosszúságú (színű) komponensek más-más helyre képződnek le (3. ábra).
 

 
3. ábra
 

A látható fény hullámhossza kb. 380 és 780 nm közé esik, de a határok nem adhatók meg élesen, hiszen a spektrum széleinél erősen lecsökken az emberi szem ,,spektrális érzékenysége'' (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázat 9.72. táblázatát). Praktikusan tekinthetjük a látható spektrum szélének a 700 nm-es hullámhosszúságú ,,mélyvöröset'' és a 420 nm-es ,,mélykéket''.
Az optikai rács által létrehozott elhajlási szög szinusza arányos a fény λ hullámhosszának és az n ,,rendszámnak'' a szorzatával:
sinαn(λ)∼n⋅λ.
A fenti képlet jobb oldalán álló szám n=1 esetén (nanométer egységekben számolva) 420 és 700 közé esik, n=2-re 840 és 1400 közé, n=3-ra pedig 1260 és 2100 között található. Látható, hogy az első- és a másodrendű elhajlásnak megfelelő szögek elkülönülnek egymástól, de a másodrendben elhajló vörös fény átfedésbe kerül a harmadrend kék tartományával. Könnyen belátható, hogy a magasabb (|n|>3) rendeknek megfelelő szomszédos sávok is átfedik egymást (4. ábra).
 

 
4. ábra
 

Ennek megfelelően tiszta kék színt csak n=±1 és n=±2 esetekben, összesen 4 helyen láthatunk a fehér falon.