Kezdőlap


Feladat:	B.4039	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dinh Van Anh , Lenger Dániel
Füzet:	2008/május, 289. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kettes alapú számrendszer, Maradékos osztás, kongruenciák, Négyzetszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/november: B.4039

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vizsgáljuk meg, mi lehet két négyzetszám összegének négyes maradéka:

\begin{matrix} {(2 k)}^{2} + {(2 l)}^{2} & = & 4 (k^{2} + l^{2}), \\ {(2 k + 1)}^{2} + {(2 l)}^{2} & = & 4 (k^{2} + k + l^{2}) + 1, \\ {(2 k + 1)}^{2} + {(2 l + 1)}^{2} & = & 4 (k^{2} + k + l^{2} + l) + 2. \end{matrix}

Látszik, hogy a 4-es maradék csak 0, 1 és 2 lehet. Ezért ha Bandi el tudná érni, hogy a felírt szám 4-gyel osztva 3 maradékot adjon, akkor biztosan ő nyerne.
Ehhez az kell, hogy a szám kettes számrendszerben 11-re végződjön, hiszen pontosan akkor lesz a szám

4 n + 3

alakú.
Bandinak az legyen a stratégiája, hogy mindig ugyanazt a számot írja le, mint amit Andi előtte leírt. Ekkor a kapott szám 11-re vagy 00-ra végződhet. Ha 11-re végződik, akkor Bandi nyert, hiszen két négyzetszám összege nem végződhet 11-re. Ha 00-ra végződik, akkor ez a szám osztható 4-gyel és tegyük fel, hogy két négyzetszám összege. Ekkor mindkét négyzetszám páros, tehát osztható 4-gyel. Ha osztjuk őket 4-gyel, akkor is két négyzetszám lesz belőlük és összegük kettes számrendszerbeli alakjának végéről eltűnik két nulla:

\begin{matrix} {(2 k)}^{2} + {(2 l)}^{2} & = & 11 ... 1100, \\ k^{2} + l^{2} & = & 11 ... 11. \end{matrix}

Ha az összegük még mindig 00-ra végződik, akkor újra és újra oszthatunk 4-gyel addig, amíg végül 11 lesz az utolsó két számjegy.
Mivel Andi 1-gyel kezdett, és utána Bandi is 1-est írt, azért előbb-utóbb biztosan 11-et kapunk. Mivel nincs két négyzetszám, aminek az összege 11-re végződik, azért Bandi stratégiája szerint mindig olyan számot kapnak, ami nem írható fel két négyzetszám összegeként; tehát Bandinak van nyerő stratégiája.