Kezdőlap


Feladat:	C.862	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2007/február, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: C.862

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha $x, y \geq 0$ , akkor $2 (x + y) \leq x + y$ , vagyis az egyetlen megoldása az egyenlőtlenségnek $x = y = 0$ . Legyen most $x \geq 0$ és $y < 0$ ; ekkor $2 | x + y | \leq x - y$ . Emeljünk négyzetre:

\begin{matrix} 4 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) \leq x^{2} - 2 x y + y^{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 3 x^{2} + 10 x y + 3 y^{2} \leq 0. \end{matrix}

Osszuk végig az egyenlőtlenséget

y^{2} \neq 0

-val, és vezessük be a

t = \frac{x}{y}

változót; ekkor a következő másodfokú egyenlőtlenséghez jutunk:

\begin{matrix} 3 t^{2} + 10 t + 3 \leq 0; \end{matrix}

a megfelelő egyenlet gyökei:

t_{1} = - \frac{1}{3}

t_{2} = - 3

. Az utóbbi egyenlőtlenséget a

- 3 \leq t \leq - \frac{1}{3}

számok elégítik ki, esetünkben

- 3 \leq \frac{x}{y} \leq - \frac{1}{3}

, azaz (

y < 0

miatt)

\begin{matrix} - 3 x \leq y \leq - \frac{1}{3} x . \end{matrix}

(1)

Hasonlóan kapjuk, hogy

x < 0

és

y \geq 0

esetén a megoldás

- 3 y \leq x \leq - \frac{1}{3} y

, azaz

\begin{matrix} - \frac{1}{3} x \leq y \leq - 3 x . \end{matrix}

(2)

Végül, ha

x < 0

és

y < 0

, akkor a feltétel

- 2 (x + y) \leq - (x + y)

, azaz

0 \leq x + y

, ami lehetetlen.
A feladat megoldását tehát az

\begin{matrix} x & \geq 0 > y, & - 3 x & \leq y \leq - \frac{1}{3} x, & illetve a & (1) \\ x & < 0 \leq y, & - \frac{1}{3} x & \leq y \leq - 3 x & (2) \end{matrix}

feltételeket kielégítő számpárok adják; a koordináta-rendszerben ábrázolva ezek éppen az

y = - \frac{1}{3} x

és

y = - 3 x

függvények grafikonjai által határolt két (hegyes) szögtartomány pontjainak felelnek meg.