Kezdőlap


Feladat:	C.861	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2007/február, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Kör geometriája, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: C.861

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a körök sugarát $R$ -rel, a középpontokat $O_{1}$ , $O_{2}$ -vel, a két kör metszéspontját $M_{1}$ -gyel és $M_{2}$ -vel. A lefedett rész az $O_{1} M_{1} M_{2}$ körcikk és az $M_{1} O_{1}$ körszelet kétszeres területéből áll (az ábrán a szürke árnyalatokkal jelölt részek).

O_{1} M_{1} O_{2}

egyenlő oldalú háromszögben

M_{1} O_{1} O_{2} ∢ = 60^{\circ}

, az

O_{1} M_{1} M_{2}

körcikk területe az

R

sugarú kör területének

\frac{1}{3}

-a, azaz

T_{1} = \frac{R^{2} π}{3}

.
A két körszelet együttes területe:

\begin{matrix} T_{2} = 2 (\frac{R^{2} π}{6} - \frac{R^{2} \sqrt[]{3}}{4}) = R^{2} (\frac{2 π - 3 \sqrt[]{3}}{6}) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} T_{1} + T_{2} = R^{2} (\frac{π}{3} + \frac{2 π - 3 \sqrt[]{3}}{6}) = R^{2} (\frac{4 π - 3 \sqrt[]{3}}{6}) . \end{matrix}

A lefedett rész aránya:

\begin{matrix} R^{2} (\frac{4 π - 3 \sqrt[]{3}}{6}) : R^{2} π = \frac{4 π - 3 \sqrt[]{3}}{6 π} \approx 0, 391. \end{matrix}

A Hold közelítőleg a Nap 39%-át fedte le.