Kezdőlap


Feladat:	B.3855	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Károlyi Gergely , Kriván Bálint , Nagy János , Tossenberger Anna
Füzet:	2006/szeptember, 344 - 345. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lefedések, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/november: B.3855

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az 1. ábrán látható, hogy hét háromszög elegendő a feladat megoldásához. Itt $O$ a beírt kör középpontja, amely az oldalakat az $E$ , $F$ , $G$ pontokban érinti, az $X$ , $Y$ , $Z$ , $V$ pontokat pedig úgy vettük fel, hogy az $O E X$ , $O G Z$ , $O G V$ , $O F Y$ egybevágó derékszögű háromszögek kisebbik hegyesszöge $40^{\circ}$ -os.

1. ábra

A továbbiakban megmutatjuk, hogy általában sincs olyan tompaszögű háromszög, amelyet hétnél kevesebb hegyesszögű háromszögre lehetne felbontani.
Tekintsünk egy tompaszögű háromszöget, amelyet a lehető legkevesebb számú,

h

darab hegyesszögű háromszögből raktunk össze. A tompaszögű csúcshoz legalább két háromszög illeszkedik. Egy ilyen kis háromszögnek nem lehet csúcsa a tompaszöggel szemközti oldal belsejében, mert akkor a kis háromszög egyik oldala az eredeti háromszögből vagy levágna egy tompaszögű háromszöget (amelynek a felbontásához legalább

h

hegyesszögű háromszög kellene), vagy pedig azt két derékszögű háromszögre vágná fel, egy derékszögű háromszöget azonban nyilván nem lehet négynél kevesebb hegyesszögű háromszögből összerakni. (Hiszen három háromszögből csak a 2. ábrán látható két módon készíthető háromszög.)

2. ábra

Van tehát legalább egy belső pont, amely valamelyik kis háromszögnek csúcsa. Egy ilyen belső pont vagy csúcsa legalább 5 kis háromszögnek (különben a

360^{\circ}

-os szöget legfeljebb 4 részre osztanánk, s így keletkezne nem hegyesszög), vagy pedig illeszkedik egy kis háromszög oldalára és csúcsa legalább 3 további kis háromszögnek. Az első esetben a pontban találkozó kis háromszögek egy legalább 5 oldalú konvex sokszöget alkotnak (a sokszög minden szöge két-két kis háromszög egy-egy hegyesszögének összege). Ha egy ilyen sokszöghöz egy hegyesszögű háromszöget illesztünk, akkor a keletkező alakzat oldalainak száma legfeljebb 1-gyel csökken (3. ábra). Legalább 2 háromszöget kell tehát hozzáilleszteni, hogy háromszöget kapjunk. A második esetben legalább 4 kis háromszögünk van, amelyek megint legalább 5 oldalú sokszöget alkotnak (4. ábra). Viszont ekkor az ábrán

α

-val jelölt szög hegyesszög, tehát ebben a csúcsban még további legalább 2 kis háromszögnek kell találkoznia, azaz ezt nem lehet 3-nál kevesebb hegyesszögű háromszöggel háromszöggé egészíteni.

3. ábra

4. ábra

Tehát

h \geq 7

, ezért legalább hét hegyesszögű háromszögből lehet csak összeilleszteni egy

120^{\circ}

-os egyenlőszárú háromszöget.