A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az 1. ábrán látható, hogy hét háromszög elegendő a feladat megoldásához. Itt a beírt kör középpontja, amely az oldalakat az , , pontokban érinti, az , , , pontokat pedig úgy vettük fel, hogy az , , , egybevágó derékszögű háromszögek kisebbik hegyesszöge -os.
1. ábra A továbbiakban megmutatjuk, hogy általában sincs olyan tompaszögű háromszög, amelyet hétnél kevesebb hegyesszögű háromszögre lehetne felbontani. Tekintsünk egy tompaszögű háromszöget, amelyet a lehető legkevesebb számú, darab hegyesszögű háromszögből raktunk össze. A tompaszögű csúcshoz legalább két háromszög illeszkedik. Egy ilyen kis háromszögnek nem lehet csúcsa a tompaszöggel szemközti oldal belsejében, mert akkor a kis háromszög egyik oldala az eredeti háromszögből vagy levágna egy tompaszögű háromszöget (amelynek a felbontásához legalább hegyesszögű háromszög kellene), vagy pedig azt két derékszögű háromszögre vágná fel, egy derékszögű háromszöget azonban nyilván nem lehet négynél kevesebb hegyesszögű háromszögből összerakni. (Hiszen három háromszögből csak a 2. ábrán látható két módon készíthető háromszög.)
2. ábra Van tehát legalább egy belső pont, amely valamelyik kis háromszögnek csúcsa. Egy ilyen belső pont vagy csúcsa legalább 5 kis háromszögnek (különben a -os szöget legfeljebb 4 részre osztanánk, s így keletkezne nem hegyesszög), vagy pedig illeszkedik egy kis háromszög oldalára és csúcsa legalább 3 további kis háromszögnek. Az első esetben a pontban találkozó kis háromszögek egy legalább 5 oldalú konvex sokszöget alkotnak (a sokszög minden szöge két-két kis háromszög egy-egy hegyesszögének összege). Ha egy ilyen sokszöghöz egy hegyesszögű háromszöget illesztünk, akkor a keletkező alakzat oldalainak száma legfeljebb 1-gyel csökken (3. ábra). Legalább 2 háromszöget kell tehát hozzáilleszteni, hogy háromszöget kapjunk. A második esetben legalább 4 kis háromszögünk van, amelyek megint legalább 5 oldalú sokszöget alkotnak (4. ábra). Viszont ekkor az ábrán -val jelölt szög hegyesszög, tehát ebben a csúcsban még további legalább 2 kis háromszögnek kell találkoznia, azaz ezt nem lehet 3-nál kevesebb hegyesszögű háromszöggel háromszöggé egészíteni.
3. ábra
4. ábra Tehát , ezért legalább hét hegyesszögű háromszögből lehet csak összeilleszteni egy -os egyenlőszárú háromszöget. |