A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A középpontos tükrözés tulajdonságaiból adódóan az , és a négyszögek téglalapok, hiszen átlóik egyenlő hosszúak és felezik egymást. Jelölje a háromszög magasságpontját. Ekkor párhuzamos -vel, mivel mindkettő derékszöget zár be -vel. Hasonlóan párhuzamos -vel. Így az négyszög paralelogramma. Ennek átlója , ami felezi a területét, így területe egyenlő területével. Hasonlóan belátható, hogy területe egyenlő területével, és területe egyenlő területével. Tehát az , , háromszögek területének összege egyenlő a , az és az háromszögek területének összegével, ami éppen az eredeti háromszög területe.
II. megoldás. Az , és egyenlő szárú háromszögekben (a kerületi és középponti szögek tétele szerint, az ábrán láthatóan):
Írjuk föl az háromszög területét alakban. Itt (a képletet felhasználva):
Hasonlóan az hatszög területe:
ami éppen a kétszerese a -nek. Ez éppen azt jelenti, hogy az , és háromszögek területének összege egyenlő az háromszög területével.
III. megoldás. Jelölje a háromszög körülírt körének középpontjából az , , pontokba mutató vektorokat , és . A tükrözés miatt az , , pontok helyvektorai ekkor , és .
Egy háromszög területe fele akkora, mint két, egy csúcsból induló oldalvektora vektoriális szorzatának a hossza. Írjuk föl ezzel a szóban forgó háromszögek területét; mivel valamennyi helyvektor a síkban van, vektoriális szorzatuk a síkra merőleges, és a szorzás megfelelő sorrendje esetén egymással azonos állású. Így megtehetjük, hogy hosszuk helyett magukkal a (vektoriális szorzatként kapott) vektorokkal számolunk:
A három külső háromszög területének összege: | | Felbontva a zárójeleket, és kihasználva, hogy , valamint , azt kapjuk, hogy Felbontva (1)-ben a zárójeleket | | A két terület valóban megegyezik. |