Feladat: B.4001 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Horner Balázs ,  Rózsa Levente ,  Szőke Nóra 
Füzet: 2008/május, 285 - 286. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Geometriai valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/április: B.4001

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy Xénia, Yvett és Zita 12 óra után x, y és z óra múlva érkezik meg az internetes kávézóba. Mivel mindegyik pontosan 1 órát tartózkodik ott és a nyitvatartás este 8-ig tart, 7-ig mindhármuknak oda kell érniük, vagyis 0≤x≤7, 0≤y≤7 és 0≤z≤7. Feleltessünk meg a három lány érkezési idejét jelző rendezett számhármasoknak egy-egy P(x;y;z) térbeli pontot, az eseménytér mértékének pedig a ponthalmaz térfogatát. Ekkor az ábra szerint a teljes eseménytér egy 7 egység élhosszúságú kocka, aminek a térfogata 343 térfogategység.

 
 

A lányok találkozásának feltételei:
|x-y|≤1⇔x-1≤y≤x+1,|y-z|≤1⇔y-1≤z≤y+1


és
|z-x|≤1⇔z-1≤x≤z+1.
A 3 leány találkozásának feltétele tehát, hogy az érkezési időpontjaikhoz rendelt P(x;y;z) pont a 7 egység élhosszúságú kockán belül az y=x-1 és y=x+1, z=y-1 és z=y+1, illetve x=z-1 és x=z+1 síkpárok között helyezkedjen el. Ez a térrész jelenti a kedvező eseteket, és felbontható egy egység oldalú kockára és 3 darab négyzet alapú ferde hasábra, melyek magassága 6 egység. Az egyik ilyen négyzet alapú ferde hasábot mutatja az ábra (ABCDKLMN hasáb).
Így a térrész térfogata 1+3⋅6=19 térfogategység. A keresett valószínűség: p=19343.
 
II. megoldás. Bontsuk az egy órát n db kis időegységre. Mivel a lányok egy-egy órát tartózkodnak az internetes kávézóban, az utolsó órában már nem érkezhetnek, így marad 7 óra, azaz 7n időegység. Ezek közül válasszunk ki egyet-egyet (lehet ugyanaz is), amikor a lányok bemennek a kávézóba. Az összes esetet egyszerűen összeszámolhatjuk: Egymástól függetlenül mind választhatták a 7n időpont valamelyikét, tehát ez (7n)3=343n3 eset.
Azok a kedvező esetek, amikor mind ugyanazon az órán belül mennek be. Mivel a kávézó déltől tart nyitva, ha a legutolsóként beérkező ember a déltől egy óráig tartó időszakban érkezik, akkor biztosan mind találkoznak, ez összesen n3 eset, hiszen mind a hárman választhatnak az első n időpont valamelyikéből.
A többi esetben nézzük azt, hogy a legutolsóként beérkező ember mikor érkezik: ez már csak 6n-féle lehet. Ha ez az utolsónak érkező egyedül érkezik, akkor a másik kettő az előtte levő n-1 időpont közül választhat, és az is lényeges, hogy ki volt az utolsó, ez 3-féle lehet, tehát ez 3(n-1)2 eset. Ha ketten érkeznek utolsónak ugyanabban a pillanatban, akkor a harmadik (n-1) időpontban érkezhet, és ismét szorozni kell hárommal, mert az utolsó kettő, akik ugyanakkor érkeztek, háromféle is lehet, ez tehát 3(n-1) eset. Amikor pedig mindhárman ugyanabban az időegységben érkeznek, ez egy eset. Ezeknek az összegét meg kell szorozni 6n-nel, mert az utolsóként érkező érkezési időpontja ennyiféle lehet.
Ez összesen
6n(3(n-1)2+3(n-1)+1)=18n3-18n2+6n
eset.
Annak a valószínűsége, hogy mindhárman találkoznak: a kedvező esetek száma osztva az összes eset számával:
n3+18n3-18n2+6n343n3=19n3-18n2+6n343n3=19343-18343n+6343n2.
Azt kell vizsgálni, hogy ez hova tart, ha n tart végtelenhez, hiszen valójában végtelen sok időpillanat van a 7 órában, amikor érkezhetnek. Mivel a utolsó két tag nullához tart, az egész kifejezés határértéke 19343, tehát ennyi a valószínűsége, hogy mindhárman összefutnak.