Kezdőlap


Feladat:	B.3968	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Márkus Bence Gábor
Füzet:	2008/május, 282 - 283. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/január: B.3968

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A négyzetgyök alatt csak nemnegatív számok állhatnak, ezért a kifejezések csak akkor értelmesek, ha $x \geq 0$ , $x - \sqrt[]{x} \geq 0$ azaz $x \geq 1$ . Ekkor

\begin{matrix} x + \sqrt[]{x} \geq 0 és \frac{x}{x + \sqrt[]{x}} \geq 0 \end{matrix}

is teljesül. Tehát

x \geq 1

.
Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát a pozitív

\begin{matrix} \sqrt[]{x + \sqrt[]{x}} + \sqrt[]{x - \sqrt[]{x}} \end{matrix}

kifejezéssel, és a bal oldalon alkalmazzuk az

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

azonosságot:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{x + \sqrt[]{x}})}^{2} - {(\sqrt[]{x - \sqrt[]{x}})}^{2} & > & \frac{4}{3} \sqrt[]{\frac{x}{x + \sqrt[]{x}}} (\sqrt[]{x + \sqrt[]{x}} + \sqrt[]{x - \sqrt[]{x}}), \\ (x + \sqrt[]{x}) - (x - \sqrt[]{x}) & > & \frac{4}{3} \sqrt[]{x} + \frac{4}{3} \sqrt[]{x} \sqrt[]{\frac{x - \sqrt[]{x}}{x + \sqrt[]{x}}}, \\ 2 \sqrt[]{x} & > & \frac{4}{3} \sqrt[]{x} + \frac{4}{3} \sqrt[]{x} \sqrt[]{\frac{x - \sqrt[]{x}}{x + \sqrt[]{x}}} . \end{matrix}

Rendezve és

\frac{4}{3} \sqrt[]{x} > 0

-val osztva kapjuk:

\begin{matrix} \frac{1}{2} > \sqrt[]{\frac{x - \sqrt[]{x}}{x + \sqrt[]{x}}} . \end{matrix}

Mindkét oldal pozitív vagy nulla, ezért a négyzetre emelés az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenséget eredményez:

\begin{matrix} \frac{1}{4} > \frac{x - \sqrt[]{x}}{x + \sqrt[]{x}}, \end{matrix}

amit rendezve és

\sqrt[]{x} > 0

-val osztva:

\begin{matrix} x + \sqrt[]{x} > 4 (x - \sqrt[]{x}), 5 \sqrt[]{x} > 3 x, \frac{5}{3} > \sqrt[]{x} . \end{matrix}

Ismét négyzetre emelve:

\frac{25}{9} > x

.
Mivel az

x \geq 1

kikötés miatt ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, az egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha

1 \leq x < \frac{25}{9}