Kezdőlap


Feladat:	B.3954	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horner Balázs , Németh Bence
Füzet:	2008/május, 279 - 281. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani közép, Mértani közép, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/december: B.3954

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egyenleteknek $x \geq \frac{2}{3}$ és $y \geq \frac{2}{3}$ esetén van értelme.
Adjuk össze az egyenleteket és rendezzük 0-ra:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt[]{3 x - 2} - 4 \sqrt[]{3 y - 2} + 6 + 6 - x - y = 0. \end{matrix}

Feltételezzük, hogy a kifejezés teljes négyzetek összegévé alakítható. Ekkor a

2 \cdot 2 \sqrt[]{3 x - 2}

és a

2 \cdot 2 \sqrt[]{3 y - 2}

kifejezések játsszák a kétszeres szorzatok szerepét.
Egészítsük ki a bal oldalt a szükséges kifejezésekkel:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + [(3 x - 2) - 2 \cdot 2 \sqrt[]{3 x - 2} + 4] + \\ + [(3 y - 2) - 2 \cdot 2 \sqrt[]{3 y - 2} + 4] + 4 + 4 - 4 x - 4 y = 0. \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 4 y + 4 + {(\sqrt[]{3 x - 2} - 2)}^{2} + {(\sqrt[]{3 y - 2} - 2)}^{2} = 0. \end{matrix}

Feltételezésünk beigazolódott, az egyenlet bal oldala valóban négyzetösszeg:

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(\sqrt[]{3 x - 2} - 2)}^{2} + {(\sqrt[]{3 y - 2} - 2)}^{2} = 0. \end{matrix}

A bal oldalon álló tagok mindegyike 0-nál nagyobb vagy egyenlő, összegük viszont 0. Ez csak úgy lehetséges, ha mindegyik 0-val egyenlő.
Ha

{(x - 2)}^{2} = 0

és

{(y - 2)}^{2} = 0

, akkor

x = 2

és

y = 2

. Ezekre az értékekre a másik két kifejezés is 0-t ad, és kikötéseink is teljesülnek.
Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása

x = y = 2

II. megoldás. Tegyük fel, hogy

3 x - 2 \geq 0

és

3 y - 2 \geq 0

teljesül. Ekkor alkalmazhatjuk a számtani és mértani közép egyenlőtlenségét a következő kifejezéseknél:

\begin{matrix} 4 \sqrt[]{3 x - 2} = 2 \cdot \sqrt[]{4 (3 x - 2)} & \leq & 2 \cdot \frac{(3 x - 2) + 4}{2} = 3 x + 2, \\ 4 \sqrt[]{3 y - 2} = 2 \cdot \sqrt[]{4 (3 y - 2)} & \leq & 2 \cdot \frac{(3 y - 2) + 4}{2} = 3 y + 2. \end{matrix}

Ezzel megbecsülhetjük eredeti egyenleteink bal oldalát:

\begin{matrix} y & = & x^{2} - 4 \sqrt[]{3 x - 2} + 6 \geq x^{2} - 3 x - 2 + 6 = x^{2} - 3 x + 4, \\ x & = & y^{2} - 4 \sqrt[]{3 y - 2} + 6 \geq y^{2} - 3 y - 2 + 6 = y^{2} - 3 y + 4. \end{matrix}

Másrészt az

x

minden értékére

x \leq x^{2} - 3 x + 4

, ugyanis

x

-et kivonva

\begin{matrix} 0 \leq x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2} \end{matrix}

(az egyenlőség

x = 2

-nél áll fenn). Ugyanígy minden

y

-ra

y \leq y^{2} - 3 y + 4

, és egyenlőség

y = 2

-nél áll fenn.
A négy egyenlőtlenséget összevetve:

\begin{matrix} x \leq x^{2} - 3 x + 4 \leq y \leq y^{2} + 3 y + 4 \leq x . \end{matrix}

Látható, hogy mindegyik becslésben az egyenlőségnek kell fennállnia, ami csak

x = y = 2

-nél teljesül; ez pedig ki is elégíti az egyenletrendszert.