Kezdőlap


Feladat:	B.3942	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berecz Dénes , Nagy Márton
Füzet:	2008/május, 277 - 278. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Oszthatósági feladatok, Binomiális együtthatók, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/november: B.3942

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A kétjegyű szám, $\bar{a b}$ felírható $10 a + b$ alakban. A binomiális tétel szerint:

\begin{matrix} {(10 a + b)}^{5} = {(10 a)}^{5} + 5 {(10 a)}^{4} b + 10 {(10 a)}^{3} b^{2} + 10 {(10 a)}^{2} b^{3} + 5 (10 a) b^{4} + b^{5} . \end{matrix}

Nyilvánvaló, hogy az első négy tag osztható 100-zal. Mivel a szám páros, így

b

páros, ezért az ötödik tag is osztható 100-zal. Tehát a hatvány utolsó két számjegye nem függ

a

-tól, csak

b

értékétől.
Ha

b

értéke 0 lenne, akkor a hatvány utolsó két számjegye 0, így

a

-ra is 0 adódna. Így

b

lehetséges értékei: 2, 4, 6, 8, a

b^{5}

értékei ekkor:

\begin{matrix} 32, 1024, 7776, 32 768. \end{matrix}

E hatványok utolsó számjegyei rendre megegyeznek az alappal.
A megfelelő kétjegyű számok tehát: 32, 24, 76, 68.