Kezdőlap


Feladat:	C.909	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Buza Dániel István
Füzet:	2008/május, 273 - 274. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/szeptember: C.909

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat feltételeinek nyilván eleget tesz az a háromszög, amelyben a másik két oldal hossza is 7. Ekkor a szabályos háromszög területe

\begin{matrix} T = \frac{49 \sqrt[]{3}}{4} \approx 21, 22. \end{matrix}

A 7 hosszú

A B

szakasz fölé szerkesszük meg a

60^{\circ}

-os látókörívet. Vegyünk fel a körön egy

C

pontot,

A C B ∢ = 60^{\circ}

. A kör átmérőjének hossza:

\begin{matrix} \frac{\frac{7}{2}}{r} = sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} \Rightarrow 2 r = \frac{7 \cdot 2}{\sqrt[]{3}} \approx 8, 08; \end{matrix}

ezért az

A C

és a

B C

oldal hossza (mivel egész) legfeljebb 8. Mivel feltehetjük, hogy a háromszög nem szabályos, azaz nincs két

60^{\circ}

-os szöge, nem lehet két 7 hosszúságú oldala sem. A

B C

és

A C

oldalakkal szemközti szögek összege

180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}

, ezért a nagyobbik

60^{\circ}

-nál nagyobb, így a vele szemközti oldal 7-nél hosszabb; mivel a hossza egész és legfeljebb 8, a hosszabbik oldal, pl.

B C = 8

Írjuk fel az

A B C

háromszögre a koszinusz-tételt:

\begin{matrix} 49 = 64 + b^{2} - 2 \cdot 8 \cdot b \cdot cos 60^{\circ}, \end{matrix}

innen, mivel

cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}

, kapjuk

b

-re a következő másodfokú egyenletet:

\begin{matrix} b^{2} - 8 b + 15 = 0, ahonnan b_{1} = 5 és b_{2} = 3. \end{matrix}

Vagyis két háromszög is eleget tesz a követelményeknek, az egyik oldalai: 8, 7 és 5, és területe:

\begin{matrix} T_{1} = \frac{8 \cdot 5 \cdot sin 60^{\circ}}{2} = \frac{20 \sqrt[]{3}}{2} \approx 17, 32. \end{matrix}

A másik háromszög oldalai: 8, 7 és 3, és területe:

\begin{matrix} T_{2} = \frac{8 \cdot 3 \cdot \sqrt[]{3}}{4} = 6 \cdot \sqrt[]{3} \approx 10, 39. \end{matrix}

A feladatnak összesen három megoldása van.