Kezdőlap


Feladat:	B.3913	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Zsolt
Füzet:	2006/október, 417. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számhalmazok, Halmazalgebra, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: B.3913

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Könnyű ellenőrizni, hogy ha

\begin{matrix} \frac{3 n - 4}{5 n - 3} = \frac{3 n' - 4}{5 n' - 3}, \end{matrix}

akkor

n = n'

, vagyis különböző

n

értékekre az

A

halmaz különböző elemeit kapjuk. Hasonló állítás igaz a

B

halmaz esetében is.
Azt kell tehát meghatároznunk, hogy hány olyan egészekből álló

n

k

számpár van, amelyre

\begin{matrix} \frac{3 n - 4}{5 n - 3} = \frac{4 k - 3}{7 k - 6} . \end{matrix}

Mivel a nevezőkben soha nem áll 0, a feltétel ekvivalens a

\begin{matrix} (3 n - 4) (7 k - 6) = (4 k - 3) (5 n - 3) \end{matrix}

feltétellel. Ezt rendezve kapjuk, hogy

(k - 3) n = 16 k - 15

. Mivel

k = 3

nem ad megoldást, azért

(k - 3)

-mal oszthatunk, s így kapjuk, hogy

n = 16 + \frac{33}{k - 3}

. Mivel

n

egész,

k - 3

osztója a 33-nak. A

33 = 3 \cdot 11

számnak 4 pozitív és ugyanennyi negatív osztója van. Ezért a megfelelő

n

k

számpárok száma 8, ennyi közös eleme van az

A

és

B

halmaznak.