Kezdőlap


Feladat:	C.858	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ridinger Tamás
Füzet:	2006/december, 541 - 542. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Hossz, kerület, Terület, felszín, Téglalapok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: C.858

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a téglalap oldalait $a$ és $b$ , a rombuszét $c$ . A téglalap kerülete $2 (a + b)$ ; területe $a b$ . A rombusz kerülete $4 c$ ; területe $c^{2} sin 30^{\circ} = \frac{c^{2}}{2}$ . A kerületek, illetve területek egyenlőségére felírhatjuk a következő egyenletrendszert:

\begin{matrix} a + b = 2 c, a b = \frac{c^{2}}{2}, innen a b = \frac{1}{2} {(\frac{a + b}{2})}^{2} . \end{matrix}

Végezzük el a műveleteket, kapjuk, hogy

a^{2} - 6 a b + b^{2} = 0

. Osszuk el az egyenletet

b^{2} \neq 0

-val:

\begin{matrix} {(\frac{a}{b})}^{2} - 6 (\frac{a}{b}) + 1 = 0. \end{matrix}

Innen

\frac{a}{b} = 3 + 2 \sqrt[]{2}

, illetve

3 - 2 \sqrt[]{2}

. A téglalap oldalainak aránya

3 + 2 \sqrt[]{2} \approx 5, 83

(illetve

\frac{1}{3 + 2 \sqrt[]{2}} = 3 - 2 \sqrt[]{2} \approx 0, 17