Megoldás. Ha $n=1$, akkor az $N=5^n+12n^2+12n+3=32$, nem osztható 100-zal. Feltehetjük tehát, hogy $n\ge 2$.
$N$ akkor lesz osztható 100-zal, ha osztható 4-gyel és 25-tel, mivel $100=4\cdot 25$ és $\left(4;25\right)=1$. Az $n\ge 2$ miatt $5^2=25\mid 5^n$, ezért osztója kell legyen a $12n^2+12n+3=3{\left(2n+1\right)}^2$-nek. Mivel $\left(3;25\right)=1$, azért 25 osztója kell legyen a ${\left(2n+1\right)}^2$-nek. Ez akkor teljesül, ha $2n+1$ osztható 5-tel, azaz $n=5k+2$ alakú. Ekkor $2n+1=2\left(5k+2\right)+1=10k+5$.
A 4 akkor osztója $N$-nek, ha osztója $\left(5^n+3\right)$-nak. De $5^n={\left(4+1\right)}^n$ maradéka 1, ezért 4-gyel osztva $1+3=4$-et, azaz nullát ad maradékul, minden $n\ge 1$-re osztható tehát 4-gyel.
Összefoglalva: 100 akkor és csak akkor osztója az $5^n+12n^2+12n+3$ összegnek, ha $n=5k+2$ alakú, ahol $k=\mathrm{0,1,2,3,}\text{...}\mathrm{.}$