Kezdőlap


Feladat:	B.3909	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kunovszki Péter , Salát Zsófia
Füzet:	2007/április, 221 - 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: B.3909

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kiszámítandó valószínűség a kedvező elemi események és az összes elemi esemény számának a hányadosa.
Az összes elemi események száma a 12 hosszú fej‐írás sorozatok száma. $2^{12} = 4096$ ilyen sorozat van, mivel mind a 12 dobásnál vagy fejet, vagy írást dobunk egyforma valószínűséggel.
A kedvező elemi események száma azoknak a fej‐írás sorozatoknak a száma, amelyekben nem követi egymást három fej. Számoljuk össze ezeket az eseteket.
Számoljuk aszerint, hogy hány írás van bennük. Jelölje $i$ az írások számát, $i$ 0-tól 12-ig vesz fel értékeket.
Az $i$ darab írás $i + 1$ ,,részre'' osztja a sorozatot. Ebben az $i + 1$ részben $12 - i$ fej oszlik el úgy, hogy minden részben 0, 1 vagy 2 található belőlük.
Ha $i = 12$ , akkor biztosan nem követi egymást három fej. 12 írásnak tehát 1-féle sorrendje van.
Ha $i = 11$ , akkor az 1 fej a 12 rész bármelyikén állhat, ami $(\binom{12}{1}) = 12$ lehetőség.
Ha $i = 10$ , akkor a 2 fej a 11 részben vagy párban helyezkedik el, ami $(\binom{11}{1}) = 11$ lehetőség; vagy külön-külön, ami pedig $(\binom{11}{2}) = 55$ lehetőség. Ez együtt

\begin{matrix} 11 + 55 = 66 \end{matrix}

lehetőség.
Ha

i = 9

, akkor a keletkezett 10 részben a 3 fej állhat egy párban és egy külön, ez

(\binom{10}{1}) \cdot (\binom{9}{1}) = 90

lehetőség; illetve egyesével, ez

(\binom{10}{3}) = 120

lehetőség. Ez együtt

\begin{matrix} 120 + 90 = 210 \end{matrix}

lehetőség.
Ha

i = 8

, akkor 9 rész jön létre. A 4 fej állhat két párban, ez

(\binom{9}{2}) = 36

sorrend; egy párban és kettő külön-külön, ez

(\binom{9}{2}) \cdot (\binom{7}{1}) = 252

sorrend; illetve külön-külön, ez pedig

(\binom{9}{4}) = 126

lehetőség. Együtt

\begin{matrix} 126 + 252 + 36 = 414 \end{matrix}

sorrend.
Hasonlóan, tetszőleges

i

esetén a lehetőségek számát aszerint célszerű megszámolni, hogy hány olyan rész van, ahol párban állnak a fejek. Mivel

i + 1

részre jut összesen

12 - i

fej, ezért a fej-párok száma legfeljebb

[\frac{12 - i}{2}]

. Ha a fej-párok száma

0 \leq k \leq [\frac{12 - i}{2}]

, akkor a lehetőségek száma

(\binom{i + 1}{k}) (\binom{i + 1 - k}{12 - i - 2 k})

, hiszen az

i + 1

részből

(\binom{i + 1}{k})

-féleképpen választhatjuk ki, hogy melyekben álljanak a fejek párban, és a maradék

i + 1 - k

helyből pedig

(\binom{i + 1 - k}{12 - i - 2 k})

lehetőség van annak kiválasztására, hogy a megmaradt

12 - i - 2 k

fejet melyik részre tegyük.
Ezek alapján a lehetőségek száma

i = 7

esetén (

0 \leq k \leq 2

\begin{matrix} (\binom{8}{0}) (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{1}) (\binom{7}{3}) + (\binom{8}{2}) (\binom{6}{1}) = 56 + 280 + 168 = 504. \end{matrix}

i = 6

, akkor

0 \leq k \leq 3

és így a lehetőségek száma

\begin{matrix} (\binom{7}{0}) (\binom{7}{6}) + (\binom{7}{1}) (\binom{6}{4}) + (\binom{7}{2}) (\binom{5}{2}) + (\binom{7}{3}) (\binom{4}{0}) = 7 + 105 + 210 + 35 = 357. \end{matrix}

i = 5

, akkor

0 \leq k \leq 3

, és erre

\begin{matrix} (\binom{6}{0}) (\binom{6}{7}) + (\binom{6}{1}) (\binom{5}{5}) + (\binom{6}{2}) (\binom{4}{3}) + (\binom{6}{3}) (\binom{3}{1}) = 0 + 6 + 60 + 60 = 126 \end{matrix}

lehetőség van.

i = 4

esetén a lehetőségek száma (

0 \leq k \leq 4

\begin{matrix} (\binom{5}{0}) (\binom{5}{8}) + (\binom{5}{1}) (\binom{4}{6}) + (\binom{5}{2}) (\binom{3}{4}) + (\binom{5}{3}) (\binom{2}{2}) + (\binom{5}{4}) (\binom{1}{0}) = \\ = 0 + 0 + 0 + 10 + 5 = 15. \end{matrix}

i \leq 4

, akkor az összeg minden tagja 0. (Ami abból is következik, hogy legfeljebb 4 rész keletkezik, viszont legalább 9 fejet dobunk, és azok párosával való elhelyezéséhez is legalább 5 részre lenne szükség.) Tehát 4-nél kevesebb írás dobása esetén nem áll elő megfelelő sorrend.
Összesen

\begin{matrix} 1 + 12 + 66 + 210 + 414 + 504 + 357 + 126 + 15 = 1705 \end{matrix}

megfelelő sorrend létezik, így a keresett valószínűség

\frac{1705}{4096} \approx 0, 416

II. megoldás. Próbáljuk meghatározni, hogy

n

hosszú fej‐írás sorozat esetén hány olyan sorozat van, amelyben nem szerepel három fej egymás után. Nevezzük az ilyen sorozatokat ,,jó sorozat''-oknak, a számukat pedig jelöljük

D_{n}

-nel.
Tekintsük egy

n

elemű jó sorozat utolsó elemét.
Amennyiben ez írás, akkor pontosan akkor jó a sorozat, ha az első

(n - 1)

elem is jó sorozatot alkot. Az ilyen sorozatok száma tehát

D_{n - 1}

.
Amennyiben az utolsó elem fej, és az utolsó előtti írás, akkor pontosan abban az esetben jó a sorozat, ha az első

(n - 2)

elem jó sorozatot alkot. Az ilyen sorozatok száma tehát

D_{n - 2}

.
Ha az utolsó és az utolsó előtti elem is fej, akkor csak úgy lehet jó a sorozat, ha az

(n - 2)

-ik elem nem fej és az első

(n - 3)

elemből alkotott sorozat nem tartalmaz három egymás utáni fejet, vagyis jó sorozat. Az ilyen sorozatok száma tehát

D_{n - 3}

.
Egy

n

hosszú sorozat pontosan a fenti esetek egyikébe tartozik bele, ezért teljesül, hogy

D_{n} = D_{n - 3} + D_{n - 2} + D_{n - 1}

.
Mivel a dobások egymástól függetlenek, és minden dobásnál

1 / 2

‐

1 / 2

valószínűséggel dobunk írást, illetve fejet, ezért annak a valószínűsége, hogy

n

dobás esetén a kapott dobássorozat jó,

\frac{D_{n}}{2^{n}}

.
A feladatban

n = 12

, így

D_{12}

-t kell meghatároznunk a rekurzív képlet segítségével. 1, illetve 2 dobás esetén biztosan nincs három fej egymás után, tehát

D_{1} = 2^{1} = 2

és

D_{2} = 2^{2} = 4

. 3 dobás esetén a fej‐fej‐fej sorozat nem jó, ezért

D_{3} = 2^{3} - 1 = 7

. Innen

D_{4} = D_{1} + D_{2} + D_{3} = 2 + 4 + 7 = 13

;

D_{5} = D_{2} + D_{3} + D_{4} = 4 + 7 + 13 = 24

;

D_{6} = 44

;

D_{7} = 81

;

D_{8} = 149

;

D_{9} = 274

;

D_{10} = 504

;

D_{11} = 927

;

D_{12} = 274 + 504 + 927 = 1705

.
A keresett valószínűség

\frac{1705}{2^{12}} = \frac{1705}{4096} \approx 0, 42