Kezdőlap


Feladat:	3837. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szűk Dániel
Füzet:	2006/május, 314 - 315. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/november: 3837. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a pontszerű test lerepülésének pillanatában a (talajhoz viszonyított) sebességének vízszintes komponense $v_{x}$ , a függőleges komponens $v_{y}$ , a fahasáb sebessége pedig $V$ .

Mivel a rendszerre vízszintes irányú külső erők nem hatnak, a két test vízszintes irányú lendületkomponenseinek összege változatlan marad:

\begin{matrix} m v_{0} = m v_{x} + m V . \end{matrix}

(1)

A súrlódás elhanyagolható volta miatt felírhatjuk még a mechanikai energiamegmaradás törvényének itt érvényes alakját:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) + \frac{1}{2} m V^{2} + m g (R - R cos 60^{\circ}) . \end{matrix}

(2)

Az is igaz, hogy a pontszerű test a fahasábhoz képest (a rácsúszástól a lerepülés pillanatáig) körpályán mozog, emiatt fennáll a következő kényszerfeltétel:

\begin{matrix} \frac{v_{y}}{v_{x} - V} = tg 60^{\circ} = \sqrt[]{3} . \end{matrix}

(3)

Az (1)‐(3) egyenletekből

v_{x}

v_{y}

és

V

meghatározható. Az eredmény (ha még

v_{0} = 3 \sqrt[]{R g}

-t is kihasználjuk):

\begin{matrix} v_{x} = \frac{2}{3} v_{0}, v_{y} = \frac{1}{\sqrt[]{3}} v_{0}, V = \frac{1}{3} v_{0} . \end{matrix}

(4)

Az egyenletrendszernek van egy másik megoldása is:

\begin{matrix} v_{x} = \frac{1}{3} v_{0}, v_{y} = - \frac{1}{\sqrt[]{3}} v_{0}, V = \frac{2}{3} v_{0}, \end{matrix}

ez azonban nem a kis test lerepülésének, hanem a fahasábra történő esetleges visszaérkezésének felel meg, így most figyelmen kívül hagyható.
A fahasáb a pontszerű test lerepülése után (mindaddig, amíg a kis test vissza nem esik rá) megtartja

V = \sqrt[]{g R}

sebességét. A kis test emelkedési magasságát a függőleges irányú kezdősebességének ismeretében az energiamegmaradás tételéből számíthatjuk ki:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{y}^{2} = m g h, \end{matrix}

ahonnan a lerepülési ponttól mért emelkedési magasság:

h = \frac{3}{2} R

, ami a vízszintes felülettől mért

2 R

távolságnak felel meg.