A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A feladatot vektorok segítségével fogjuk megoldani. A három testből álló rendszer zárt (külső erő nem hat rájuk), ezért a tömegközéppontjuk nem gyorsul. Válasszunk egy olyan koordináta-rendszert, amelyben a tömegközéppont nem is mozog, hanem a koordináta-rendszer középpontjában áll. Jelölje a pontszerű testek helyvektorait ebben a (tömegközépponti) koordináta-rendszerben , tömegüket pedig . Ezek a mennyiségek nem függetlenek egymástól, hiszen a tömegközéppont helyvektora nullvektor kell legyen, vagyis fennáll , ahonnan pl. kifejezhető: Írjuk fel az tömegű test mozgásegyenletét! Erre a testre az tömegű test erőt fejt ki ( a Newton-féle gravitációs állandó, pedig a két test állandónak feltételezett távolsága), és hasonló módon számolható a harmadik test gravitációs vonzása is. Ha az egész rendszer állandó szögsebességgel forog, akkor az 1-es jelű test gyorsulása , a mozgásegyenlete tehát | | Ez (1) felhasználásával, majd egyenletrendezéssel a következő alakra hozható: | | (2) | Mivel a fenti egyenletben és iránya különböző, (2) csak úgy állhat fenn, ha benne mindkét vektor együtthatója nulla: | |
A másik két test mozgásegyenlete hasonlóan (az indexek felcserélésével) írható fel, s ezekből a feltétel adódik. (Eddig sehol nem használtuk ki a feladat szövegében közölt azon információt, miszerint a három test szabályos háromszöget alkotva forog, de látható, hogy a mozgásegyenletek csak ilyen elrendezéssel állnak összhangban.) A forgás szögsebessége kell legyen.
Megjegyzés. Ha a három test közül az egyik tömege sokkal nagyobb, mint a másik kettőé, akkor a rendszer tömegközéppontja gyakorlatilag a nagy tömegű testtel esik egybe. Ilyenkor a másik két test a nagy tömegű test körül szabályos háromszöget alkotva kering, egyikük a másikhoz képest -os szögben lemaradva vagy azt megelőzve az ún. Lagrange-féle pontok valamelyikében mozog. A Nap‐Jupiter rendszer Lagrange-pontjaiban ténylegesen megtalálható égitestek az ún. trójai kisbolygók. |