Kezdőlap


Feladat:	3832. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Konczer József , Széchenyi Gábor
Füzet:	2006/május, 311 - 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb relativitáselmélet, Doppler-hatás (Doppler-effektus), Színek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: 3832. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A Doppler-jelenség szerint ha egy $f$ frekvenciájú hangot kibocsátó ,,álló'' hangforráshoz $v$ sebességgel közeledik egy megfigyelő, akkor a hangot

\begin{matrix} f' = f \cdot \frac{c + v}{c} \end{matrix}

(1)

frekvenciájúnak észleli (

c

a hang terjedési sebessége). Amennyiben a forrás mozog

v

sebességgel az ,,álló'' megfigyelő felé, akkor a Doppler-képlet

\begin{matrix} f' = f \cdot \frac{c}{c - v} \end{matrix}

(2)

alakja érvényes. Az ,,álló'' szót azért tettük idézőjelbe, mert a mozgás és nyugalom kifejezések a vonatkoztatási rendszertől is függenek, csak akkor egyértelműek, ha megmondjuk, hogy mihez képest áll vagy mozog a kérdéses test. A hang terjedésénél létezik egy kitüntetett koordináta-rendszer, nevezetesen az, amelyben a hanghullámokat továbbító közeg (a levegő) nyugalomban van. A fenti képletek csak akkor érvényesek, ha az ,,álló'' kifejezés erre a vonatkoztatási rendszerre utal. Megjegyezzük, hogy kicsiny sebességeknél (

v ≪ c

esetén) mindkét képlet ugyanazt az eredményt adja:

\begin{matrix} \frac{Δ f}{f} = \frac{f' - f}{f} \approx \frac{v}{c} . \end{matrix}

(3)

Fényhullámok terjedésénél is fellép a Doppler-jelenség, de ott ‐ mivel a fénynek nincs szüksége közvetítő közegre ‐ értelmét veszti az (1) és (2) képleteknek megfelelő eset megkülönböztetése. A fényre sem (1), sem pedig (2) nem érvényes, hanem a relativisztikus Doppler-képletet szabad csak alkalmaznunk (lásd pl. Budó: Kísérleti fizika III. kötet, 310. old.):

\begin{matrix} f' = f \cdot \sqrt[]{\frac{c + v}{c - v}}, \end{matrix}

(4)

ahol

v

a fényforrás és a megfigyelő relatív sebessége (ez független a koordináta-rendszer választásától),

c

pedig a vákuumbeli fénysebesség. (Megjegyezzük, hogy a fényhez képest kicsiny sebességek esetén (4) is a (3) közelítő képlettel helyettesíthető.)
A jelzőlámpa piros fényének frekvenciája

f_{p} = 4, 56 \cdot 10^{14} Hz

(a függvénytáblázati adatokat használva a vörös színárnyalatok közül mondjuk a C-vonalat választjuk), a zöld fény frekvenciája pedig

f_{z} = 6, 05 \cdot 10^{14} Hz

. A piros lámpa fényét akkor észlelhetnénk zöldnek, ha a jelzőlámpa felé tartó

v

sebességünkre fennállna

\begin{matrix} f_{z} = f_{p} \cdot \sqrt[]{\frac{c + v}{c - v}}, \end{matrix}

azaz teljesülne, hogy

\begin{matrix} v = \frac{f_{z}^{2} - f_{p}^{2}}{f_{z}^{2} + f_{p}^{2}} c = 0, 27 \cdot 3 \cdot 10^{8} \frac{m}{s} \approx 8 \cdot 10^{7} \frac{m}{s} . \end{matrix}

Megjegyzés. A feladat megoldásában szereplő sebességgel haladva másodpercenként kétszer megkerülhetnénk a Földet az Egyenlítő mentén, de csak akkor, ha (a technikai nehézségek legyőzése után) valamilyen ‐ a gravitációt százmilliószorosan (!) meghaladó ‐ erővel biztosítani tudnánk, hogy járművünk a talajon maradjon.