Kezdőlap


Feladat:	3827. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Péter Zsolt
Füzet:	2006/május, 308 - 309. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hídkapcsolás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: 3827. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az akkumulátor által leadott teljesítményt célszerű a

\begin{matrix} P = \frac{U_{0}^{2}}{R} \end{matrix}

összefüggésből számítani, ahol

U_{0}

a terheléstől függetlennek tekinthető kapocsfeszültség,

R

pedig az ellenállásrendszer eredő ellenállása. A kérdés tehát az, hogy nőhet-e

R

a kapcsoló zárásakor, illetve hogy milyen feltételek teljesülése esetén marad

R

változatlan.
Nyitott kapcsolóállásnál két-két sorosan kapcsolt ellenállásból álló rendszer párhuzamos eredőjét kell kiszámítanunk:

\begin{matrix} \frac{1}{R_{ny}} = \frac{1}{R_{1} + R_{3}} + \frac{1}{R_{2} + R_{4}}, ahonnan R_{ny} = \frac{(R_{1} + R_{3}) (R_{2} + R_{4})}{R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{4}} . \end{matrix}

Zárt kapcsolóállásnál két-két párhuzamosan kapcsolt ellenállásból álló rendszer soros eredőjét számítjuk:

\begin{matrix} R_{z} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}})}^{- 1} + {(\frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}})}^{- 1} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} + \frac{R_{3} R_{4}}{R_{3} + R_{4}} . \end{matrix}

Az akkumulátor teljesítménye akkor csökkenne, ha fennállna az

R_{z} > R_{ny}

, vagyis a

\begin{matrix} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} + \frac{R_{3} R_{4}}{R_{3} + R_{4}} > \frac{(R_{1} + R_{3}) (R_{2} + R_{4})}{R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{4}} \end{matrix}

egyenlőtlenség. Ez azonban soha nem teljesülhet, hiszen algebrai átalakítások után

\begin{matrix} 2 R_{1} R_{2} R_{3} R_{4} > R_{1}^{2} R_{4}^{2} + R_{2}^{2} R_{3}^{2}, tehát 0 > {(R_{1} R_{4} - R_{2} R_{3})}^{2} \end{matrix}

alakra hozható, ami nyilván lehetetlen.
Ténylegesen

\begin{matrix} {(R_{1} R_{4} - R_{2} R_{3})}^{2} \geq 0, \end{matrix}

vagyis az akkumulátor teljesítménye a kapcsoló zárásakor megnő, vagy esetleg változatlan marad. Ez utóbbi akkor következhet be, ha fennáll

\begin{matrix} \frac{R_{1}}{R_{3}} = \frac{R_{2}}{R_{4}}, \end{matrix}

vagyis a négy ellenállásból álló hídkapcsolás kiegyenlített. Ekkor ugyanis nyitott kapcsolóállásnál a felső és az alsó ágban levő ellenállások ugyanolyan arányban osztják meg az

U_{0}

feszültséget, a kapcsoló zárásakor tehát azonos potenciálú pontokat kötünk össze, és így nem történik semmi változás az árameloszlásban.