Feladat: 3821. fizika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Peregi Tamás ,  Pósa László 
Füzet: 2006/április, 242 - 244. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síktükör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/szeptember: 3821. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük az ember fejét F-fel, a lábát (talpát) L-lel, és az egyszerűség kedvéért ne foglalkozzunk azzal a kérdéssel, hogy a szeme egy kicsit alacsonyabban van, mint a feje teteje.
Két esetet kell megkülönböztetnünk: a tükör ‐ melynek t síkja a vízszintessel 60∘-os szöget zár be ‐ dőlhet úgy, hogy a teteje közelebb van hozzánk, de az ellenkező eset is elképzelhető. Foglalkozzunk először a felénk (a megfigyelő felé) ,,dőlő'' tükörrel! Az 1. ábra azt a metszetet mutatja, amely a tükör síkjára merőleges és tartalmazza az FL szakaszt is. Az ember e egyenesének és a tükör t egyenesének metszéspontját jelölje P, a fej és a láb tükörképeit F' és L'.

 

 
1. ábra
 

Az F szemből a virtuális kép F' és L' pontjaihoz húzott egyenesek kimetszik a tükör egyeneséből a T2 és T1 pontokat, ezek távolsága a keresett tükörméret.
A szögek berajzolása és a megadott távolságok (méterben mért értékeinek) bejelölése után látható, hogy az LL'P▵ szabályos, az FT2P▵ pedig egy szabályos háromszög fele, tehát FP=4 és PT2=23. Innen következik, hogy LP=5,7, tehát RL'=RL=2,85 és így LQ=0,85.
Az LQF▵ szintén egy szabályos háromszög fele, tehát FQ=0,85⋅3. A QL'F▵ és az RL'T1▵ hasonló, a hasonlósági arány:
0,853T1R=4,852,85,ahonnanT1R=2,85⋅0,8534,85≈0,865.
A tükör mérete ezek szerint
T2T1=T2R-T1R=FQ-T1R=1,7⋅32-0,865≈0,61m,  
vagyis legalább 61 cm-es kell legyen.
A másik (a megfigyelőhöz képest ,,hátrafelé'' dőlő) tükör esetét általánosan, tetszőleges adatok mellett fogjuk megoldani.
Jelöljük az ember magasságát h-val, a feje és a tükör síkjának távolságát d-vel, a tükör dőlésszöge pedig (a függőlegeshez képest) legyen α (2. ábra). Az ábrán látható φ szögre egyrészt fennáll, hogy
tgφ=L'GFG=L'GFF'-F'G=hcosα2d-hsinα.
másrészt a tükör minimális mérete:
T1T2=dtgφ=hdcosα2d-hsinα.
Behelyettesítve a feladatban szereplő h=1,7 m, d=2 m és α=30∘ értékeket, a tükör méretére 0,93 m-t, tehát az előző esethez képest nagyobb méretet kapunk. Ha a fenti képletbe α=-30∘-ot helyettesítünk, korábban kiszámított 0,61 m-es tükörméretet is megkapjuk.
 

 
2. ábra
 

Megjegyzés. A második (hátrafelé dőlő) esetben a tükör alsó széle mélyebben helyezkedik el, mint az ember lába. Ez ténylegesen megvalósulhat, ha az ember nem a vízszintes talajon, hanem pl. egy zsámolyon áll.