Feladat: B.3903 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Anda Roland ,  Bakó Lilla ,  Berna Zoltán ,  Csaba Ákos ,  Csató László ,  Cserép Gergely ,  Csizmadia Laura ,  Csorba János ,  Faragó Kornél ,  Földes Imre ,  Godó Zita ,  Gyurcsik Judit ,  Herber Máté ,  Honner Balázs ,  Horváth Vanda ,  Kardos Kinga Gabriela ,  Kovács Péter ,  Kunovszki Péter ,  Mészáros Gábor ,  Móri Bálint ,  Müller Márk ,  Pásztor Attila ,  Peregi Tamás ,  Pesti Veronika ,  Priksz Ildikó ,  Prőhle Zsófia ,  Salát Zsófia ,  Tallián György ,  Tóth Tibor ,  Werner Miklós 
Füzet: 2007/március, 151 - 152. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Irracionális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/április: B.3903

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha x megoldás, akkor xx+3≥0 és x≠-3, vagyis x<-3 vagy x≥0. Szorozzuk meg mindkét oldalt (x+3)-mal:

x(x+3)-(x+3)xx+3=2.

I. eset: x≥0. Ekkor x+3>0, az egyenlet a következőképpen alakul:
x(x+3)-x(x+3)2x+3=2,x(x+3)-x(x+3)-2=0.
Jelöljük x(x+3)-at y-nal. Az y2-y-2 másodfokú egyenlet gyökei y1=-1 és y2=2. A negatív gyök nem megoldás, a pozitív igen. Az x(x+3)=2 egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, majd rendezve x2+3x-4=0, ahonnan x1=1 és x2=-4<0, tehát csak az első gyök megfelelő.
II. eset: x<-3. Ekkor x+3<0, vagyis -(x+3)=|x+3| és az egyenlet így alakul:
x(x+3)+|x+3|xx+3=2,x(x+3)+x(x+3)2x+3=2,x(x+3)+x(x+3)-2=0.
Az I. esethez hasonlóan legyen y=x(x+3), ahonnan y2+y-2=0, a két gyök y1=1 és y2=-2, ez utóbbi nem megfelelő. Az elsőből x2+3x-1=0, ahonnan x1=-3-132<-3, tehát megfelel a feltételeknek, illetve x2=-3+132>-3, ez nem megfelelő.
Az egyenlet megoldásai tehát az 1 és a -3-132≈-3,3.