Kezdőlap


Feladat:	C.854	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dudás Ádám , Kopcsó István
Füzet:	2007/január, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Köbszámok összege, Teljes indukció módszere, Egész számok összege, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: C.854

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bizonyítást teljes indukcióval végezzük. Az állítás $n = 1$ -re igaz, hiszen $\frac{1^{3}}{1} = 2 \cdot 1^{2} - 1$ .
Tegyük fel, hogy az állítás igaz $n$ -re:

\begin{matrix} \frac{1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ... + {(2 n - 1)}^{3}}{1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1)} = 2 n^{2} - 1. \end{matrix}

Ekkor

1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = \frac{(1 + (2 n - 1)) \cdot n}{2} = n^{2}

miatt

\begin{matrix} 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ... + {(2 n - 1)}^{3} = (2 n^{2} - 1) n^{2} . \end{matrix}

Ezt felhasználva

\begin{matrix} 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ... + {(2 n - 1)}^{3} + {(2 n + 1)}^{3} = (2 n^{2} - 1) n^{2} + {(2 n + 1)}^{3} . \end{matrix}

(1)

Ha az állítást felírjuk

(n + 1)

-re, majd a bal oldal nevezőjével beszorozzuk mindkét oldalt, a következőt kapjuk:

\begin{matrix} 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ... + {(2 n - 1)}^{3} + {(2 n + 1)}^{3} = (2 {(n + 1)}^{2} - 1) {(n + 1)}^{2} . \end{matrix}

Ebbe beírva (1)-et:

\begin{matrix} (2 n^{2} - 1) n^{2} + {(2 n + 1)}^{3} = (2 {(n + 1)}^{2} - 1) {(n + 1)}^{2}, \end{matrix}

végül a zárójeleket felbontva

\begin{matrix} 2 n^{4} + 8 n^{3} + 11 n^{2} + 6 n + 1 = 2 n^{4} + 8 n^{3} + 11 n^{2} + 6 n + 1, \end{matrix}

ami azonosság. Tehát az állítás valóban igaz tetszőleges

n

esetén.

II. megoldás. Tudjuk, hogy

1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = \frac{1 + (2 n - 1)}{2} \cdot n = n^{2}

. Próbáljuk meg a köbös részt is egyszerűbb alakra hozni, azt felhasználva, hogy

1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}

\begin{matrix} 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ... + {(2 n - 1)}^{3} = 1^{3} + 2^{3} + ... {(2 n)}^{3} - [2^{3} + 4^{3} + ... + {(2 n)}^{3}] = \\ = {[\frac{2 n (2 n + 1)}{2}]}^{2} - 8 (1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3}) = n^{2} {(2 n + 1)}^{2} - 8 {[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2} = \\ = n^{2} {(2 n + 1)}^{2} - 2 n^{2} {(n + 1)}^{2} = n^{2} (4 n^{2} + 4 n + 1 - 2 n^{2} - 4 n - 2) = n^{2} (2 n^{2} - 1) . \end{matrix}

A bizonyítandó egyenlőség bal oldala:

\begin{matrix} \frac{1^{3} + 3^{3} + ... + {(2 n - 1)}^{3}}{1 + 3 + ... + (2 n - 1)} = \frac{n^{2} (2 n^{2} - 1)}{n^{2}} = 2 n^{2} - 1. \end{matrix}

Az állítást igazoltuk.