Kezdőlap


Feladat:	C.853	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bakacsi Péter , Bencs Ferenc , Blázsik Zoltán , Buza Dániel István , Csató Bertalan , Damázsdi Eszter , Dóka Éva , Dormán Miklós , Éles András , Fábián Anna , Farkas Judit , Fonyó Dávid , Gévay Gábor , Gresits Iván , Helényi-Simon Viktória , Horváth Markó , Juhász István , Károly Dóra , Kőszegi Balázs , Kunos Ádám , Lantos Tamás , Lórántfy Tibor , Máté Balázs , Mezei Bálint , Mihálykó Ágnes , Nagy Mariann , Pulai Gábor , Ridinger Tamás , Ruppert Dániel , Salamon László , Szabó Réka , Szilágyi Lilla Ráchel , Varga Imre , Varga László , Venczel Márton , Vida György , Werner Miklós
Füzet:	2006/december, 540 - 541. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfüggvények a térben, Tetraéderek, Köréírt gömb, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: C.853

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a félegyenesek kezdőpontját $O$ -val. $O$ -ból kiindulva a félegyenesek mindegyikére mérjünk fel egy $d$ távolságot, az így kapott pontokat jelöljük $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel (1. ábra). Az $O A B$ , $O B C$ , $O C D$ , $O D A$ , $O A C$ , $O B D$ egyenlő szárú háromszögek egybevágók, hiszen száruk $d$ , szárszögük $φ$ . Feladatunk a $φ$ szög nagyságának meghatározása.

1. ábra

Az előző egybevágóságból következik, hogy

A B = B C = C D = D A = A C = B D

, azaz

A B C

B C D

C D A

D A B

egybevágó szabályos háromszögek. A négy pont nem lehet egy síkban, mert akkor az azonosan jelölt

D

-nél lévő szögek nem lehetnének

60^{\circ}

-osak (2. ábra). A négy pont ezért egy szabályos tetraéder négy csúcsa.

2. ábra

O

pont mind a négy csúcstól egyenlő,

d

távolságra van,

O

tehát a tetraéder köré írható gömb középpontja, és

d

a gömb sugara (3. ábra). Ismeretes (és könnyen kiszámítható), hogy a körülírt gömb sugara

d = \frac{a \sqrt[]{6}}{4}

, ahol

a

a tetraéder éle.

3. ábra

Rajzoljuk meg az

A O B

egyenlő szárú háromszöget (4. ábra). Tudjuk, hogy

A B = a

és

A O B ∢ = φ

4. ábra

Legyen

F

φ

szögfelező talppontja az

A B

szakaszon, ekkor

\begin{matrix} sin \frac{φ}{2} = \frac{F B}{O B} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt[]{6}}{4}} = \frac{\sqrt[]{6}}{3} . \end{matrix}

Innen

\frac{φ}{2} \approx 54, 74^{\circ}

és a félegyenesek által bezárt szög

φ \approx 109, 47^{\circ}