Kezdőlap


Feladat:	C.852	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Pásztor Bálint
Füzet:	2006/december, 539 - 540. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Irracionális egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: C.852

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A négyzetgyök alatt szereplő $x^{2} + 3$ pozitív. Vezessük be a $\sqrt[]{x^{2} + 3} = a$ új változót. Ekkor $a \geq \sqrt[]{3}$ és az

\begin{matrix} a^{2} - 3 - 3 a \leq 1 \end{matrix}

egyenlőtlenséghez jutunk. Szorzattá alakítva kapjuk, hogy

(a - 4) (a + 1) \leq 0

. Az egyenlőtlenség

- 1 \leq a \leq 4

esetén áll fenn. Az

\sqrt[]{x^{2} + 3} \geq \sqrt[]{3} > - 1

mindig teljesül. Ha

a \leq 4

, akkor

\sqrt[]{x^{2} + 3} \leq 4

. Mivel egyik oldal sem negatív, négyzetre emelhetünk:

\begin{matrix} x^{2} + 3 \leq 16 és innen - \sqrt[]{13} \leq x \leq \sqrt[]{13}, \end{matrix}

ez az egyenlőtlenség megoldása.