Kezdőlap


Feladat:	C.850	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2007/február, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek geometriája, Középpontos tükrözés, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: C.850

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.
Készítsünk ábrát. A hatszög csúcsait $A_{1}, A_{2}, ..., A_{6}$ jelöli, a felezőpontokat $F_{1}, F_{2}, ..., F_{6}$ .

Vizsgáljuk meg például a

P P_{4} P_{5}

háromszöget, ahol

P_{4}

P_{5}

P

pont tükörképe

F_{4}

-re és

F_{5}

-re, így

P F_{4} = F_{4} P_{4}

és

P F_{5} = F_{5} P_{5}

. Tehát

F_{4} F_{5}

P P_{4} P_{5}

háromszög középvonala, így

T_{P P_{4} P_{5}} = 4 \cdot T_{P F_{4} F_{5}}

. Ez a többi háromszögre is igaz, tehát

T_{P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5} P_{6}} = 4 \cdot T_{F_{1} F_{2} F_{3} F_{4} F_{5} F_{6}}

. Számítsuk ki ezután az

F_{1} F_{2} F_{3} F_{4} F_{5} F_{6}

hatszög területét. A Pitagorasz-tételt az

F_{1} A_{2} O

háromszögre alkalmazva:

r^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = 1^{2}

, amiből

r = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

\begin{matrix} T_{O F_{1} F_{2}} = \frac{r^{2} \cdot sin 60^{\circ}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{3 \sqrt[]{3}}{16} . \\ T_{F_{1} F_{2} F_{3} F_{4} F_{5} F_{6}} = 6 \cdot T_{O F_{1} F_{2}} = 6 \cdot \frac{3 \sqrt[]{3}}{16} = \frac{9 \sqrt[]{3}}{8} . \end{matrix}

Tehát a

P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5} P_{6}

hatszög területe:

T = 4 \cdot \frac{9 \sqrt[]{3}}{8} = \frac{9 \sqrt[]{3}}{2}