Kezdőlap


Feladat:	4037. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Börcsök Bence , Tóth Barnabás
Füzet:	2008/április, 249 - 251. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegközéppont helye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: 4037. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a lábos tömegét $m$ -mel, a tömegközéppontjának magasságát (üres állapotban) $h$ -val, az alapterületét $A$ -val, a víz sűrűségét pedig $ϱ$ -val!
Ha a lábosban $x$ magasságban áll a víz, ennek a vízmennyiségnek a tömege $M = A x ϱ$ , tömegközéppontja pedig (a lábos aljától mérve) $\frac{x}{2}$ magasan van. A lábos és a víz közös tömegközéppontjának $y$ magassága a rendszer két részének tömegközéppontjából, azok súlyozott közepeként számítható:

\begin{matrix} y = \frac{m h + M \frac{x}{2}}{m + M}, \end{matrix}

amely

M

behelyettesítése után

\begin{matrix} y = \frac{m h + A ϱ \frac{x^{2}}{2}}{m + A x ϱ} = \frac{\frac{m}{A ϱ} h + \frac{x^{2}}{2}}{\frac{m}{A ϱ} + x} \end{matrix}

alakra hozható. Érdemes használni a

H = \frac{m}{A ϱ}

jelölést, ezzel az alábbi képletet kapjuk:

\begin{matrix} y = \frac{2 H h + x^{2}}{2 (H + x)} . \end{matrix}

(1)

(

H

szemléletes jelentése: a lábosba töltött

H

magasságú víz tömege éppen a lábos tömegével egyezik meg.) A feladat számadataival

H = 3, 18

cm és

h = 10

cm.
A feladat kérdésének matematikai megfogalmazása: milyen

x

értéknél veszi fel az (1) egyenlettel megadott

y (x)

függvény a legkisebb értékét, hol van a minimuma. Erre a kérdésre grafikus ábrázolással, numerikus módszerekkel, differenciálszámítással, vagy egyéb úton kereshetjük a választ. Az alábbiakban egy elemi módszert követve határozzuk meg a függvény szélsőértékét.
Írjuk át (1)-et

\begin{matrix} x^{2} - (2 y) x + 2 H (h - y) = 0 \end{matrix}

(2)

alakra, és tekintsük benne

x

-et ismeretlennek,

y

-t pedig adott értékűnek! A (2) egyenlet

x

-re nézve másodfokú, amelynek csak akkor van valós megoldása, ha a diszkriminánsa nemnegatív, azaz teljesül az

y^{2} - 2 H (h - y) \geq 0

egyenlőtlenség. Ennek megoldása:

\begin{matrix} y \leq - \sqrt[]{H (H + 2 h)} - H = - 11, 7 cm, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y \geq \sqrt[]{H (H + 2 h)} - H = 5, 5 cm = y_{{min}_{}^{}} . \end{matrix}

Az első lehetőség számunkra érdektelen, hiszen

y > 0

, így csak a második eset valósulhat meg. Látható, hogy

y_{{min}_{}^{}}

a közös tömegközéppont legmélyebb helyzetét adja meg, tehát éppen a feladatban feltett első kérdésre ad választ.
Ha

y = y_{{min}_{}^{}}

, akkor (2) megoldása:

x = y_{{min}_{}^{}} = 5, 4

cm, tehát a közös tömegközéppont legmélyebb helyzeténél a víz felszíne éppen a közös tömegközépponttal megegyező magasságban van.

II. megoldás. Ha valamekkora vízmagasságnál a közös tömegközéppont a víz felszíne felett van, akkor egy kevés víz hozzátöltésével a tömegközéppont magassága csökkenthető (hiszen a hozzátöltött víz a rendszer tömegközéppontja alá kerül). Ha viszont a közös tömegközéppont a víz felszíne fölé kerül, akkor a további víz hozzáadása növeli a közös tömegközéppont magasságát (mert a hozzátöltött víz a rendszer tömegközéppontja fölé kerül). A közös tömegközéppont akkor van a legalacsonyabban, amikor éppen a víz felszínével megegyező magasságba kerül.
Az I. megoldás jelöléseit használva az (1) egyenletet

y = x

esetre történő megoldása adja meg

y

legkisebb értékét. Ez a feltétel egy másodfokú egyenletre vezet, aminek pozitív megoldása:

\begin{matrix} x = y = \sqrt[]{H (H + 2 h)} - H = 5, 5 cm . \end{matrix}