A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a lábos tömegét -mel, a tömegközéppontjának magasságát (üres állapotban) -val, az alapterületét -val, a víz sűrűségét pedig -val! Ha a lábosban magasságban áll a víz, ennek a vízmennyiségnek a tömege , tömegközéppontja pedig (a lábos aljától mérve) magasan van. A lábos és a víz közös tömegközéppontjának magassága a rendszer két részének tömegközéppontjából, azok súlyozott közepeként számítható: amely behelyettesítése után | | alakra hozható. Érdemes használni a jelölést, ezzel az alábbi képletet kapjuk: ( szemléletes jelentése: a lábosba töltött magasságú víz tömege éppen a lábos tömegével egyezik meg.) A feladat számadataival cm és cm. A feladat kérdésének matematikai megfogalmazása: milyen értéknél veszi fel az (1) egyenlettel megadott függvény a legkisebb értékét, hol van a minimuma. Erre a kérdésre grafikus ábrázolással, numerikus módszerekkel, differenciálszámítással, vagy egyéb úton kereshetjük a választ. Az alábbiakban egy elemi módszert követve határozzuk meg a függvény szélsőértékét. Írjuk át (1)-et alakra, és tekintsük benne -et ismeretlennek, -t pedig adott értékűnek! A (2) egyenlet -re nézve másodfokú, amelynek csak akkor van valós megoldása, ha a diszkriminánsa nemnegatív, azaz teljesül az egyenlőtlenség. Ennek megoldása: vagy Az első lehetőség számunkra érdektelen, hiszen , így csak a második eset valósulhat meg. Látható, hogy a közös tömegközéppont legmélyebb helyzetét adja meg, tehát éppen a feladatban feltett első kérdésre ad választ. Ha , akkor (2) megoldása: cm, tehát a közös tömegközéppont legmélyebb helyzeténél a víz felszíne éppen a közös tömegközépponttal megegyező magasságban van.
II. megoldás. Ha valamekkora vízmagasságnál a közös tömegközéppont a víz felszíne felett van, akkor egy kevés víz hozzátöltésével a tömegközéppont magassága csökkenthető (hiszen a hozzátöltött víz a rendszer tömegközéppontja alá kerül). Ha viszont a közös tömegközéppont a víz felszíne fölé kerül, akkor a további víz hozzáadása növeli a közös tömegközéppont magasságát (mert a hozzátöltött víz a rendszer tömegközéppontja fölé kerül). A közös tömegközéppont akkor van a legalacsonyabban, amikor éppen a víz felszínével megegyező magasságba kerül. Az I. megoldás jelöléseit használva az (1) egyenletet esetre történő megoldása adja meg legkisebb értékét. Ez a feltétel egy másodfokú egyenletre vezet, aminek pozitív megoldása: |