Kezdőlap


Feladat:	4031. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gál Bálint
Füzet:	2008/április, 248. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Relativisztikus impulzus, Relativisztikus energia, Pozitron, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: 4031. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A folyamat során a pozitron és az elektron teljes (mozgási + nyugalmi) energiája alakul át a fotonok energiájává, összimpulzusuk pedig a fotonok összimpulzusával egyezik meg.
A pozitron sebessége összemérhető a fénysebességgel, ezért a relativisztikus energia- és impulzus-képleteket kell alkalmaznunk. Ha a pozitron nyugalmi tömegét $m$ -mel jelöljük (ugyanekkora az elektron nyugalmi tömege is), akkor a pozitron összenergiája:

\begin{matrix} E_{+} = \frac{m c^{2}}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{5}{4} m c^{2}, \end{matrix}

impulzusa pedig:

\begin{matrix} p_{+} = \frac{m v}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{3}{4} m c . \end{matrix}

A nyugvó elektron energiája:

\begin{matrix} E_{-} = m c^{2}, \end{matrix}

impulzusa pedig nulla.

Ha a keletkező fotonok energiáját

E_{1}

-gyel, illetve

E_{2}

-vel jelöljük, az impulzusuk

\begin{matrix} p_{1} = \frac{E_{1}}{c} és p_{2} = \frac{E_{2}}{c} . \end{matrix}

Ha az 1. számú foton mozog a pozitron mozgásirányára merőlegesen, a 2. számú pedig a pozitron mozgásirányához viszonyított

α

szögben (lásd az ábrát!), akkor az energia- és impulzusmegmaradás egyenletei:

\begin{matrix} E_{1} + E_{2} = E_{+} + E_{-} = \frac{9}{4} m c^{2}, & (1) \\ \frac{E_{1}}{c} = \frac{E_{2}}{c} sin α, & (2) \\ \frac{E_{2}}{c} cos α = p_{+} = \frac{3}{4} m c . & (3) \end{matrix}

E_{1}

-t (2)-ből kifejezve és (1)-be helyettesítve kapjuk:

\begin{matrix} E_{2} (1 + sin α) = \frac{9}{4} m c^{2}, \end{matrix}

(4)

(3)-ból pedig:

\begin{matrix} E_{2} cos α = \frac{3}{4} m c^{2} . \end{matrix}

(5)

A fenti két egyenletet elosztva egymással

\begin{matrix} \frac{1 + sin α}{cos α} = 3 \end{matrix}

adódik, ami így is írható:

\begin{matrix} \frac{1 + sin α}{\sqrt[]{1 - sin^{2} α}} = \sqrt[]{\frac{1 + sin α}{1 - sin α}} = 3. \end{matrix}

Ebből megkapjuk a 2. foton impulzusának irányát:

\begin{matrix} sin α = \frac{4}{5}, α = 53, 1^{\circ}, \end{matrix}

továbbá (2)-ből kiszámíthatjuk a fotonok energiájának arányát:

\begin{matrix} \frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{4}{5} . \end{matrix}