Kezdőlap


Feladat:	4011. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lovász Krisztina
Füzet:	2008/április, 239 - 241. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontszerű töltés térerőssége, Matematikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: 4011. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Alkalmazzuk az energiamegmaradás törvényét a kicsiny test körpályán történő (de várhatóan nem harmonikus) rezgőmozgására! A rendszer energiája a gravitációs helyzeti energiából, az elektrosztatikus potenciális energiából és a mozgási energiából tevődik össze. A legmélyebb helyzetben a kicsiny test gravitációs helyzeti energiáját választhatjuk nullának. Ekkor a kiindulási helyzetben a gravitációs energia:

\begin{matrix} m g l sin 30^{\circ} = \frac{m g l}{2} . \end{matrix}

A mozgási energia mind a kezdeti helyzetben, mind pedig a kicsiny test legmélyebb helyzetében nulla, így a továbbiakban figyelmen kívül hagyható. Az elektroszatikus energia

k \frac{Q^{2}}{x}

alakban írható, ahol

x

a két töltés pillanatnyi távolsága,

k

pedig a Coulomb-törvényben szereplő állandó. A kezdeti helyzetben (az

l

befogújú egyenlő szárú derékszögű háromszögből)

x_{1} = \sqrt[]{2} l,

a legmélyebb helyzetben pedig (az

l

oldalhosszúságú, egyenlő oldalú háromszögből adódóan)

x_{2} = l

(1. ábra). Az energiamegmaradás tétele szerint

\begin{matrix} k \frac{Q^{2}}{x_{1}} + \frac{m g l}{2} = k \frac{Q^{2}}{x_{2}}, \end{matrix}

ahonnan (

x_{1}

és

x_{2}

fenti értékeinek behelyettesítése és egyenletrendezés után)

\begin{matrix} m = \frac{k Q^{2}}{g ℓ^{2}} (2 - \sqrt[]{2}) \end{matrix}

(1)

adódik.

1. ábra

b)

A kicsiny testre a legmélyebb helyzetében az

m g

gravitációs erő, a töltések közötti

\begin{matrix} F = k \frac{Q^{2}}{x_{2}^{2}} = k \frac{Q^{2}}{l^{2}} \end{matrix}

nagyságú elektromos taszítóerő és a keresett

K

fonálerő hat (2. ábra). Ezen erők fonál irányú komponenseinek előjeles összege nulla kell legyen, hiszen az éppen álló test sugár irányú (centripetális) gyorsulása nulla. Eszerint

\begin{matrix} K - \frac{1}{2} m g - \frac{1}{2} F = 0. \end{matrix}

(Kihasználtuk, hogy a kérdéses helyzetben mind a nehézségi erő, mind pedig az elektromos taszítóerő

60^{\circ}

-os szöget zár be a fonállal, fonál irányú vetületük tehát a nagyságuk

cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}

-szerese.) A fenti egyenletből a fonálerőre (az (1) összefüggést is felhasználva)

\begin{matrix} K = \frac{1}{2} m g + \frac{1}{2} F = \frac{1}{2} m g + k \frac{Q^{2}}{2 l^{2}} = k \frac{Q^{2}}{l^{2}} \frac{3 - \sqrt[]{2}}{2} \end{matrix}

adódik. Ez az erő

\begin{matrix} K = \frac{3 - \sqrt[]{2}}{2 (2 - \sqrt[]{2})} m g = (1 + \frac{\sqrt[]{2}}{4}) m g \approx 1, 35 m g \end{matrix}

alakban is megadható.

2. ábra

c)

A test gyorsulása az alsó helyzetben a körpálya érintőjének irányában felfelé mutat, nagysága a Newton-egyenletből és az (1) összefüggésből számítható:

\begin{matrix} a_{lent} & = \frac{F \cdot cos 30^{\circ} - m g \cdot cos 30^{\circ}}{m} = (k \frac{Q^{2}}{m l^{2}} - g) \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \\ = (\frac{1}{2 - \sqrt[]{2}} - 1) g = \frac{\sqrt[]{6}}{4} g \approx 0, 61 g . \end{matrix}

Hasonló módon kaphatjuk meg a test gyorsulását a kezdeti (legfelső) helyzetében. A gyorsulás itt is a körpálya érintőjének irányába mutat, nagysága:

\begin{matrix} a_{fent} & = \frac{m g - k \frac{Q^{2}}{{(\sqrt[]{2} l)}^{2}} cos 45^{\circ}}{m} = g - k \frac{Q^{2}}{m l^{2}} \frac{\sqrt[]{2}}{4} = \\ = (1 - \frac{1}{2 - \sqrt[]{2}} \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{4}) g = (\frac{3 - \sqrt[]{2}}{4}) g \approx 0, 40 g . \end{matrix}

Jól látható, hogy

a_{fent} \neq a_{lent}

, tehát a kicsiny test mozgása valóban nem harmonikus rezgőmozgás. A két gyorsulás aránya:

\begin{matrix} \frac{a_{lent}}{a_{fent}} = \frac{\sqrt[]{6}}{3 - \sqrt[]{2}} \approx 0, 65. \end{matrix}