A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelölje a számokat a kör kerületén sorban . Tegyük fel, hogy sikerült felírni úgy a számokat, hogy bármely két szomszédos szám közül a nagyobbat a kisebbel elosztva mindig prímszámot kapunk. Ekkor , , , és , ahol tetszőleges esetén vagy egy prímet jelöl, vagy egy prím reciprokát. Ezek alapján , tehát , ahonnan | | ahol esetén egy prímszámot jelöl. A tört számlálója és nevezője is prímszámok szorzata, így a törtet csak abban az esetben lehet 1-re egyszerűsíteni, ha ugyananazok a tényezők vannak, méghozzá ugyanannyian a nevezőben és a számlálóban. Mivel azonban a tényezők száma összesen 2007, páratlan, ez nem lehetséges.
II. megoldás. Tegyük fel, hogy sikerült felírni a számokat a megadott módon. Mindegyik számhoz rendeljük hozzá a prímtényezőinek a tényleges számát, például -hez 8-at, 1-hez nullát. Ha a kör kerületén lépkedünk, akkor két szomszédos szám prímtényezőinek tényleges száma között 1 a különbség. Ha tehát valahonnan elindulunk, és egyesével lépkedünk körbe, akkor minden lépésben a prímtényezők száma 1-gyel változik. Páratlan sok lépés után érkezünk vissza a kiindulási számhoz, azonban ha a prímtényezők számát páratlanszor növeltük vagy csökkentettük 1-gyel, akkor a prímtényezők tényleges száma páratlannal változott meg, így nem kaphatjuk vissza az eredeti számot. Ez ellentmondás, tehát nem nem írhattuk fel így a számokat. |