A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Annak megfelelően, hogy a pont -hoz vagy -hez van közelebb, két lényegileg különböző esetet kell figyelembe vennünk. Alábbi megoldásunk egyszerre működik mindkét esetben (lásd az ábrákat).
Az, hogy a egyenes külső szögfelező a csúcsban, egyenérékű azzal, hogy a -nél jelölt szögek egyenlők. Mivel az egyenes érinti az kört, a kerületi szögek tétele miatt . Ezen szögek egyenlőségéből adódik, hogy a és az háromszög hasonló. Így a és a csúcsoknál levő szögeik is egyenlők. Ez viszont azt jelenti, hogy az négyszög húrnégyszög. Ebből következik, hogy az háromszög -nál és -nél levő szöge is egyenlők egymással. Tehát az háromszög egyenlőszárú, vagyis nem más, mint az körív és az szakasz felezőmerőlegesének a metszéspontja. A megfordításhoz tekintsük az szakasz felező merőlegesének egy tetszőleges olyan pontját, amely nem esik az szakaszra. Azt kell megmutatnunk, hogy ez a pont hozzátartozik a pontok mértani helyéhez. Ám ha az háromszög köré írható kör rövidebbik ívén felveszünk egy pontot úgy, hogy sem , sem ne legyen egyenlő -vel, akkor az elmondottak alapján világos, hogy az ehhez tartozó pont nem lehet más, mint . Tehát a mértani hely az szakasz felezőmerőlegese a felezőpontja kivételével.
II. megoldás. Az szakasz felezőmerőlegese messe az kör ívét -ben, a másik ívét -ban. Az szakasz felezőpontját jelölje . Bebizonyítjuk, hogy a -beli külső szögfelező és az -beli érintő is átmegy -n, vagyis .
, mivel egyenlő íveken nyugvó kerületi szögek, így az belső szögfelezője. A -beli külső szögfelező merőleges a belsőre, amire is merőleges a Thalesz-tétel miatt. Így ezek egy egyenesbe esnek, tehát a külső szögfelező átmegy -n. Tekintsük a és háromszögeket. A -nél levő szögük megegyezik, és van még egy-egy derékszögük. Tehát a és csúcsuknál levő szögeik is egyenlők. Utóbbi továbbá egyenlő az pontnál megjelölt szöggel, mivel azonos ívhez tartozó kerületi szögek. Azt kaptuk, hogy a -nél és -nál a jelölt szögek egyenlők. Az előbbi az háromszög körülírt körében az -hez tartozó kerületi szög. Tudjuk, hogy ezzel egyenlő az -ban a körhöz húzott érintő egyenessel bezárt szöge, tehát ez az érintő csak lehet. (A is egyenlő a -nál levő szöggel, tehát a körhöz -ben húzott érintő is átmegy -n. Vagyis, ha felcseréljük -t és -t, akkor is igaz lesz, hogy . Tehát ha közelebb van -hoz, mint -hez, akkor is működik a bizonyítás.) Tehát minden pont esetén az a pont lesz , amit az körív kimetsz felezőmerőlegeséből. Amíg befutja a sík pontjait (legalábbis amire nem egyenlőszárú háromszög), a kimetszett pontok a felezőmerőleges összes pontját kiadják, felezőpontját leszámítva. Tehát a mértani hely az szakasz felezőmerőlegese a felezőpontja kivételével. |
|