A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tekintsünk egy, a két gömb középpontján átmenő tetszőleges síkmetszetet. Jelölje a síkmetszetben látható két kör középpontját és , metszéspontjait pedig és .
, hiszen a háromszög oldalai Pitagoraszi számhármast alkotnak, és a kérdéses szög a háromszög átfogójával van szemben. Jelölje és metszéspontját . Tudjuk, hogy két kör metszéspontjait összekötő egyenes merőleges a két középpontot összekötő szakaszra, vagyis . A fentiekből következik, hogy , vagyis illeszkedik a szakaszra. Visszatérve a térbe: a két gömb közös része két gömbszeletből áll (melyeket egy középpontú, -re merőleges síkban levő körlap választ el), ezek közül az egyik a kisebbik gömb felével egyenlő. Ez utóbbi gömbszelet térfogata , a másik térfogata . A gömbszelet magassága legyen , ennek értéke: . A gömb, illetve gömbszelet térfogatának képletét felhasználva:
A két gömb közös részének térfogata .
II. megoldás. A két gömb középpontján átmenő síkkal elmetsszük a két gömböt. A síkmetszet egy 3 és egy 5 sugarú kör lesz, a két kör középpontjának távolsága 4.
Helyezzük el a két kört egy koordináta-rendszerben úgy, hogy a középpontjuk illeszkedjen az tengelyre, és a nagyobbik kör érintse az tengelyt. Ekkor a két kör egyenlete:
A két kör metszéspontjainak koordinátáit ki tudjuk számolni, ha a két egyenlet bal oldalát egyenlővé tesszük: , ahonnan és . A keresett testet két részre bontjuk és a térfogatot integrálással számoljuk ki. Az egyik rész a kisebb, a másik a nagyobb sugarú kör tengely körüli forgatásával keletkezik. A kisebb kör esetén , a nagyobbik kör esetén pedig . Ezek alapján:
A két térfogat összege: . |