Kezdőlap


Feladat:	B.4028	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szepcsik Áron , Türk Annamária
Füzet:	2008/április, 221 - 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: B.4028

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsünk egy, a két gömb középpontján átmenő tetszőleges síkmetszetet. Jelölje a síkmetszetben látható két kör középpontját $O_{1}$ és $O_{2}$ , metszéspontjait pedig $P_{1}$ és $P_{2}$ .

P_{1} O_{1} O_{2} ∢ = 90^{\circ}

, hiszen a

P_{1} O_{1} O_{2}

háromszög oldalai Pitagoraszi számhármast alkotnak, és a kérdéses szög a háromszög átfogójával van szemben.
Jelölje

O_{1} O_{2}

és

P_{1} P_{2}

metszéspontját

M

. Tudjuk, hogy két kör metszéspontjait összekötő egyenes merőleges a két középpontot összekötő szakaszra, vagyis

P_{1} M O_{2} ∢ = 90^{\circ}

.
A fentiekből következik, hogy

M = O_{1}

, vagyis

O_{1}

illeszkedik a

P_{1} P_{2}

szakaszra.
Visszatérve a térbe: a két gömb közös része két gömbszeletből áll (melyeket egy

O_{1}

középpontú,

O_{1} O_{2}

-re merőleges síkban levő körlap választ el), ezek közül az egyik a kisebbik gömb felével egyenlő. Ez utóbbi gömbszelet térfogata

V_{1}

, a másik térfogata

V_{2}

. A gömbszelet magassága legyen

m_{1}

, ennek értéke:

m_{1} = 5 - 4 = 1

. A gömb, illetve gömbszelet térfogatának képletét felhasználva:

\begin{matrix} V_{1} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3^{3} π = 18 π, \\ V_{2} & = 5 \cdot 1^{2} \cdot π - \frac{1^{3} π}{3} = \frac{14}{3} π . \end{matrix}

A két gömb közös részének térfogata

V_{1} + V_{2} = \frac{68}{3} π \approx 71, 21

II. megoldás. A két gömb középpontján átmenő síkkal elmetsszük a két gömböt. A síkmetszet egy 3 és egy 5 sugarú kör lesz, a két kör középpontjának távolsága 4.

Helyezzük el a két kört egy koordináta-rendszerben úgy, hogy a középpontjuk illeszkedjen az

x

tengelyre, és a nagyobbik kör érintse az

y

tengelyt. Ekkor a két kör egyenlete:

\begin{matrix} {(x - 9)}^{2} + y^{2} - 9 & = 0, \\ {(x - 5)}^{2} + y^{2} - 25 & = 0. \end{matrix}

A két kör metszéspontjainak koordinátáit ki tudjuk számolni, ha a két egyenlet bal oldalát egyenlővé tesszük:

x^{2} - 18 x + 72 = x^{2} - 10 x

, ahonnan

x = 9

és

y = \pm 3

.
A keresett testet két részre bontjuk és a térfogatot integrálással számoljuk ki. Az egyik rész a kisebb, a másik a nagyobb sugarú kör

x

tengely körüli forgatásával keletkezik. A kisebb kör esetén

f_{1}^{2} (x) = - x^{2} + 18 x - 72

, a nagyobbik kör esetén pedig

f_{2}^{2} (x) = - x^{2} + 10

. Ezek alapján:

\begin{matrix} V_{1} & = & π \int_{6}^{9} f_{1}^{2} (x) d x = π \int_{6}^{9} (- x^{2} + 18 x - 72) d x = π {[\frac{- x^{3}}{3} + \frac{18 x^{2}}{2} - 72 x]}_{6}^{9} = \\ = & π (\frac{- 9^{3}}{3} + \frac{18 \cdot 9^{2}}{2} - 72 \cdot 9 - \frac{- 6^{3}}{3} - \frac{18 \cdot 6^{2}}{2} + 72 \cdot 6) = 18 π . \\ V_{2} & = & π \int_{9}^{10} f_{2}^{2} (x) d x = π \int_{9}^{10} (- x^{2} + 10) d x = π {[\frac{- x^{3}}{3} + \frac{10 x^{2}}{2}]}_{9}^{10} = \\ = & π (\frac{- 10^{3}}{3} + \frac{10 \cdot 10^{2}}{2} - \frac{- 9^{3}}{3} - \frac{10 \cdot 9^{2}}{2}) = 4 \frac{2}{3} π . \end{matrix}

A két térfogat összege:

V_{1} + V_{2} = \frac{68}{3} π