Kezdőlap


Feladat:	B.4023	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2008/április, 216 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Háromszög területe, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: B.4023

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha az adott $P$ pont az egyik csúcsba esik, akkor azt a szemközti oldal harmadolópontjaival kell összekötni, melyeket a párhuzamos szelők tételére támaszkodó ismert szerkesztési eljárással kapunk meg. Tegyük fel most, hogy $P$ az $A B C$ háromszög $A B$ oldalának $A$ -hoz közelebbi belső pontja. Ha ez épp az $A B$ oldal $A$ -hoz közelebbi $H$ harmadolópontja, akkor nyilván $C$ -vel, illetve a $B C$ odal felezőpontjával kell azt összekötnünk.

P

A H

szakasz belső pontja, akkor húzzuk meg az

A

-n átmenő,

P C

-vel párhuzamos egyenest, messe ez a

B C

egyenest

C'

-ben. Az

A B C

háromszög területe egyenlő a

P B C'

háromszög területével, hiszen a

P C C'

háromszög területe egyenlő a

P C A

háromszög területével. Az előző módszerrel a

P B C

háromszög területét harmadolhatjuk a

P

-ből induló két egyenessel. Mivel

\begin{matrix} \frac{C' B}{C B} = \frac{A B}{P B} > \frac{2}{3}, \end{matrix}

C' B

oldal mindkét harmadolópontja a

B C

szakaszra esik, tehát az eredeti feladat megoldását is megkaptuk egyben.
Végül, ha

P

nem esik az

A H

szakaszra, az előző módszerrel csak az egyik harmadoló egyenest kapjuk meg, mert a

B C'

szakasznak csak a

B

-hez közelebbi harmadolópontja esik a

B C

oldalra. A másik egyenest úgy kapjuk meg, hogy

B

-n keresztül párhuzamost húzunk a

P C

egyenessel. Ennek és az

A C

egyenesnek metszéspontja a

C''

. Az

A C

szakasz

A

-hoz közelebbi harmadolópontját

P

-vel összekötve kapjuk a területet harmadoló egyenest.