Kezdőlap


Feladat:	B.4015	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Anda Roland
Füzet:	2008/április, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvex négyszögek, Terület, felszín, Hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/szeptember: B.4015

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a négyszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , a merőlegesek talppontjait $A'$ , $B'$ , $C'$ és $D'$ , a négyszög átlóinak metszéspontját pedig $K$ . Az $A A' K$ derékszögű háromszögben

\begin{matrix} cos 45^{\circ} = \frac{K A'}{K A}, amiből K A' = \frac{\sqrt[]{2}}{2} K A . \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} K B' = \frac{\sqrt[]{2}}{2} K B, K C' = \frac{\sqrt[]{2}}{2} K C \end{matrix}

és

\begin{matrix} K D' = \frac{\sqrt[]{2}}{2} K D . \end{matrix}

D' K A' ▵ \sim D K A ▵

, mivel két oldaluk aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik. A hasonlósági arány pedig

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

, a két háromszög területének aránya ennek négyzete, vagyis

\frac{1}{2}

.
Ugyanígy

A' K B' ▵ \sim A K B ▵

B' K C' ▵ \sim B K C ▵

és

C' K D' ▵ \sim C K D ▵

, mindhárom esetben

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

a hasonlóság,

\frac{1}{2}

pedig a területek aránya.
Mivel

A' B' C' D'

területe a négy kis háromszög,

A B C D

területe pedig a négy nagy háromszög területének összege, a négyszögek területének aránya is

\frac{1}{2}