Kezdőlap


Feladat:	B.3994	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dudás Zsolt
Füzet:	2008/április, 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/április: B.3994

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feltételeket felhasználva:

\begin{matrix} n^{4} = {(n^{2})}^{2} = {(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b = n^{3} + 2 a b, \end{matrix}

vagyis

2 a b = n^{4} - n^{3}

. Így

\begin{matrix} 0 \leq {(a - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b = n^{3} - (n^{4} - n^{3}) = n^{3} (2 - n), \end{matrix}

ahonnan

n \leq 2

. Ha

n = 0

, akkor

a = b = 0

, ha

n = 1

, akkor

a = 1

b = 0

, ha pedig

n = 2

, akkor

a = b = 2

megfelelő választás. Tehát

n

értéke 0, 1 vagy 2 lehet.