A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az derékszögű háromszögben a súlyvonalakat két csoportba osztjuk.
I. eset: A befogóhoz tartozó súlyvonalat meghúzva a háromszög is derékszögű, ezért , azaz . Innen . Helyettesítsük be a lehetséges egész értékeket, azaz . Csak az esethez kapunk -re egész számot, ekkor . De ez sem ad megoldást, mert az összefüggésből adódik, ami nem négyzetszám.
II. eset: Ha az súlyvonal az átfogóhoz tartozik, akkor . Most , ahol a lehetséges értékei . Csak a , illetve a esetén kapunk -re négyzetszámot. Ezekben az esetekben azonban , így ekkor sem kapunk megoldást. Tehát nincs ilyen derékszögű háromszög.
II. megoldás. Jelölje és a derékszögű háromszög két befogóját, pedig az átfogót. Ha az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5, az egyben azt is jelenti, hogy . Vagyis . Mivel 225 osztható 3-mal, a bal oldalon álló kifejezésnek is oszthatónak kell lenni 3-mal. Egy négyzetszám 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad, így két négyzetszám összege csak akkor lehet 3-mal osztható, ha mindkét szám osztható 3-mal. Ekkor azonban , és nem relatív prím. Ha az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5 (legyen ez például a oldal), akkor , ahonnan . A jobb oldal osztható 3-mal, így az előzőekben leírtakhoz hasonlóan kapjuk, hogy és is osztható 3-mal, ezért és is, tehát , a feladat feltételével ellentétben. |