Kezdőlap


Feladat:	C.912	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bali-Papp Donát
Füzet:	2008/április, 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Súlyvonal, Derékszögű háromszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: C.912

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $A B C$ derékszögű háromszögben a súlyvonalakat két csoportba osztjuk.

I. eset: A befogóhoz tartozó súlyvonalat meghúzva a

B C D

háromszög is derékszögű, ezért

\frac{b^{2}}{4} + a^{2} = s^{2}

, azaz

56, 25 - a^{2} = \frac{b^{2}}{4}

. Innen

a \leq \sqrt[]{56, 25} = 7, 5

.
Helyettesítsük be a lehetséges egész

a

értékeket, azaz

a = 7,6,5,4,3,2,1

. Csak az

a = 6

esethez kapunk

b

-re egész számot, ekkor

b = 9

. De ez sem ad megoldást, mert az

a^{2} + b^{2} = c^{2}

összefüggésből

c^{2} = 81 + 36 = 117

adódik, ami nem négyzetszám.

II. eset: Ha az

s

súlyvonal az átfogóhoz tartozik, akkor

c = 2 s = 15

. Most

a^{2} = 225 - b^{2}

, ahol a

b

lehetséges értékei

1,2, ...,14

. Csak a

b = 9

, illetve a

b = 12

esetén kapunk

a^{2}

-re négyzetszámot. Ezekben az esetekben azonban

(a; b; c) \neq 1

, így ekkor sem kapunk megoldást. Tehát nincs ilyen derékszögű háromszög.

II. megoldás. Jelölje

a

és

b

a derékszögű háromszög két befogóját,

c

pedig az átfogót.
Ha az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5, az egyben azt is jelenti, hogy

c = 15

. Vagyis

a^{2} + b^{2} = 225

. Mivel 225 osztható 3-mal, a bal oldalon álló kifejezésnek is oszthatónak kell lenni 3-mal. Egy négyzetszám 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad, így két négyzetszám összege csak akkor lehet 3-mal osztható, ha mindkét szám osztható 3-mal. Ekkor azonban

a

b

és

c

nem relatív prím.
Ha az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5 (legyen ez például a

b

oldal), akkor

a^{2} + \frac{b^{2}}{4} = 7, 5^{2}

, ahonnan

{(2 a)}^{2} + b^{2} = 225

. A jobb oldal osztható 3-mal, így az előzőekben leírtakhoz hasonlóan kapjuk, hogy

2 a

és

b

is osztható 3-mal, ezért

a

és

b

is, tehát

(a; b; c) \neq 1

, a feladat feltételével ellentétben.